suite de Sturm

ALGEBRE

Une suite de Sturm est une suite de polynômes qui permet de démontrer le théorème de Sturm, relatif à la séparation des racines des équations-polynômes. Elle est définie de la façon suivante (source : dictionnaire des mathématiques de Alain Bouvier, Michel George et François Le Lionnais, édition PUF) :
Soit P un polynôme de degré n de R[X] n’ayant que des racines simples. On considère la suite P, P0, P1, ., Pi, .Pk de polynômes où P0 est le polynôme dérivé de P, (-P1) le reste de la division euclidienne de P par P0, et où pour tout i de {1,.k} le polynôme (-Pi) est le reste de la division de Pi-2 par Pi-1, le polynôme Pk étant constant.
Etant donné deux réels a et b (a < b) le théorème de Sturm affirme que si p est le nombre de variations de signes dans la suite P(a), P0(a), . Pi(a), . Pk(a) et q le nombre de variations de signes dans la suite P(b), P0(b), . Pi(b), . Pk(b), alors le polynôme P possède p-q racines réelles entre a et b.

Le théorème de Sturm, énoncé en 1829, fait suite à des travaux de Descartes (1637), de Rolle (1690) , de Budan (1811) notamment. Lorsque les racines sont complètement séparées, elles peuvent être calculées une à une par des méthodes itératives et par ordinateur.