Dans notre géométrie usuelle, les parallèles ne se rencontrent jamais, on peut parler de la perpendiculaire à une droite passant par un point, car il n’y en qu’une, et la somme des angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Mais il existe d’autres géométries, ce qu’on appelle les géométries non-euclidiennes, où ces propriétés sont fausses : par exemple les parallèles peuvent se rencontrer.
C’est au XIXe siècle, avec les travaux de Bolyai, Lobatchevski et Gauss, que ces géométries ont été introduites pour la première fois, mettant en question les fondements-mêmes de nos représentations du monde. Il suffit d’ailleurs d’accepter d’appeler « droites » certains objets qui n’en sont pas pour entrer dans le monde non-euclidien : la géométrie du globe terrestre nous habitue aux géométries différentes à cause de la courbure de l’espace.
Henri Poincaré, mathématicien universel, s’intéresse aux géométries non-euclidiennes pour comprendre certaines fonctions qu’on appelle « automorphes » maintenant. Mais ceci le conduit à approfondir la compréhension des géométries non euclidienne, et en même temps à s’interroger sur les rapports entre mathématiques et le « monde réel », notamment dans son célèbre livre « La Science et l’hypothèse » (1902).
Le type de géométrie à laquelle il s’intéresse tout particulièrement s’appelle géométrie hyperbolique. L’exemple le plus simple d’espace hyperbolique a la forme d’un disque, et Poincaré explique de manière saisissante dans « La Science et l’hypothèse » comment un individu vivant dans ce disque percevrait son univers géométrique.