En 1934, un jeune mathématicien français, Jean Leray (1906-1998), publiait dans la revue « Acta Mathematica » un article devenu rapidement célèbre : « Sur le mouvement d’un fluide visqueux remplissant l’espace ». Il s’agissait donc d’étudier mathématiquement un problème physique très parlant : l’écoulement d’un fluide – comprendre par exemple les tourbillons que l’on peut observer lorsqu’on regarde couler la Seine.
C’est en 1821 qu’un mathématicien français, Claude Navier, suivi plus de 20 ans plus tard par l’Irlandais George Stokes ont écrit pour la première fois les équations mathématiques qui décrivent complètement le mouvement d’un fluide, élaborant ainsi à partir de la situation simplifiée étudiée auparavant par Euler. Ce genre d’équations, appelées équations aux dérivées partielles, font intervenir des fonctions et certaines de leurs dérivées. Mais la résolution de ces équations devait se révéler être un problème d’une très grande difficulté, et l’article de Leray de 1934 en est la première avancée très significative. C’est notamment parce qu’il fallait donner un cadre conceptuel dans lequel comprendre la notion même de turbulence : s’il y a turbulence, il y a des discontinuités, et s’il y a des discontinuités il n’y a plus de dérivées, et donc plus d’équation.
C’est un cadre renouvelé qu’introduit Leray dans son article précurseur, anticipant sur les travaux de Sobolev et Schwartz, dans lequel il démontre les premiers résultats généraux sur les équations de Navier-Stokes.
Aujourd’hui encore, le texte de Leray, texte fondateur s’il en est, reste in-surpassé ; il guide les efforts des mathématiciens dans la résolution générale de ce problème, un des sujets les plus importants des mathématiques contemporaines.