flocon de von Koch
courbe de von Koch
flocon de neige
ensemble de von Koch
suite de von Koch
ANALYSE
GEOMETRIE
La courbe de von Koch est la courbe fractale construite à partir d’un segment de droite que l’on partage en trois segments isométriques, le segment central étant remplacé par les deux autres côtés du triangle équilatéral sur lequel il est construit. On réitère ce découpage sur chaque segment obtenu.
Le flocon de von Koch, ou flocon de neige (ou encore île de von Koch) est obtenu par cette même construction sur chacun des côtés d’un triangle équilatéral. En réitérant on obtient une courbe rappelant un flocon de neige. Le flocon (ou courbe) de von Koch est la limite des courbes ainsi obtenues en réitérant la construction indéfiniment.
Cette courbe a été étudiée en 1904 par le mathématicien suédois Niels Helge von Koch comme exemple de « courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire ». Le flocon de von Koch a été la première courbe fermée sans point double de périmètre infini pour une aire intérieure finie qui ait été exhibée. N. von Koch a ainsi confirmé que le concept de courbe, rénové depuis Jordan , mais remis en cause par Cantor et Dedekind , était encore à (re)définir.
La courbe de von Koch a une longueur infinie mais la surface qu’elle délimite est finie (puisque contenue dans le cercle circonscrit au triangle initial). La surface totale est la somme de la série géométrique : ∑n=0∞(4/9)n = 9/5.
La courbe de von Koch est l’attracteur dans le plan de 4 similitudes de rapport 1/3.
Sa dimension fractale est 2 ln(2)/ln(3)