loi de Cauchy
distribution de Cauchy
loi de Lorenz
PROBABILITES
La loi de Cauchy est une loi de probabilités appelée aussi loi de Lorentz.
Une variable aléatoire X suit la loi de Cauchy si elle est absolument continue et admet pour densité par rapport à la mesure de Lebesgue :
f(x) = 1/π . 1/(1 + x2).
Cette fonction n’est pas intégrable au sens de Lebesgue , donc une variable aléatoire de Cauchy ne possède ni espérance, ni écart-type.
La loi de Cauchy apparait comme la loi d’une variable aléatoire qui est le quotient de deux variables aléatoires normales indépendantes centrées et de même écart-type. Parmi les particularités de cette loi, signalons que l’inverse d’une variable aléatoire qui suit une loi de Cauchy suit une loi de Cauchy identique, et que la moyenne de n variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Cauchy suit elle-même une loi de Cauchy.
La loi de Cauchy est une de celles auxquelles la loi des grands nombres ne s’applique pas.
Il existe aussi une loi de Cauchy en optique qui fut plus tard démontrée grâce aux équations de Maxwell . Elle donne la variation d’indice de réfraction n avec la longueur d’onde λ pour un milieu transparent donné. Elle s’écrit :
nλ = a0 + (a1 / λ2)
où a0 et a1 sont des coefficients positifs, a0 sans dimension, a1 en m², à préciser pour chaque milieu.