En quelques mots, disons que retourner une sphère, c’est imaginer une déformation permettant d’échanger sa face interne avec sa face externe sans trouer ni plier sa membrane !

On a beau appuyer de toutes les manières possibles sur un ballon, l’opération est impossible si on ne se donne pas de marge de manoeuvre supplémentaire. Une première condition est d’autoriser la surface à se traverser elle-même.

En 1957, un jeune chercheur Stephen Smale conjectura, puis démontra un an plus tard qu’il était possible de retourner une sphère. Depuis de nombreux efforts ont été faits pour comprendre et visualiser ce processus complexe. Bernard Morin, mathématicien aveugle de l’Université Louis Pasteur s’est attaqué à plusieurs reprises au cours de sa carrière à ce problème. En 1989, nous avons réalisé ensemble une version polyédrique de ce problème qui a abouti au retournement du cuboctaèdre.

Ce que les mathématiciens appellent « le plan projectif » est simplement l’ensemble de toutes les droites qui passent par l’origine de l’espace à trois dimensions IR3. On peut par exemple se le représenter en considérant tous les rayons lumineux venant de toutes les directions possibles et qui traversent l’oeil d’un observateur fixe.
Chacune de ces droites recoupe la sphère de rayon 1 en deux points diamétralement opposés. Si l’on cherche à se représenter le plan projectif en ne gardant pour chaque droite qu’un seul de ces points, on se rend vite compte que la visualisation est mal aisée.

On connaissait au dix-neuvième siècle de telles représentations, mais elles présentaient toutes des singularités (lignes de points doubles aboutissant à un sommet) qui ne faisaient pas d’elles des surfaces. David Hilbert pensait que cela était impossible. Pourtant, en 1901, son élève Werner Boy réussissait à construire une telle surface qui porte depuis le nom de « surface de Boy ». Retenons également que la surface de Boy a servi a faire les premiers essais pour retourner la sphère.

De nombreuses tentatives ont été faites par le professeur Ulrich Brehm de l’Université de Berlin pour imaginer des versions polyédriques de la surface de Boy.

Une collaboration fructueuse avec Bernard Morin a permis en 1988 la fabrication d’un modèle minimal à neuf sommets que l’on appelle à présent « modèle de Brehm ».

Cette surface est obtenue en recollant un disque (en fait un assemblage de 7 triangles continûment déformable en un disque) le long du bord d’un ruban de Moebius lui-même obtenu à l’aide de 3 pentagones concaves. Pour cela, il est nécessaire que la surface se recoupe elle-même et qu’elle ait un point triple (trois de ses faces passent par un même point) que l’on verra facilement sur le modèle décrit.

Elle a également la propriété de ne posséder qu’une seule face comme le ruban de Moebius. C’est ce modèle qui est à l’origine de tout le travail qui est présenté ici.

La deuxième partie, décrit le retournement du cuboctaèdre en expliquant quelles sont les modifications qu’il subit au cours de sa déformation et contient une série d’images permettant à tout un chacun de se faire une idée de la déformation.

L’ensemble des modèles fabriqués a été exposé lors du colloque « Arts et Mathématiques » de Maubeuge en septembre 2000 : http://arpam.free.fr/colloque.html