Le théorème fondamental de l’algèbre ou théorème de d’Alembert-Gauss, constitue « un sujet permanent de réflexion sur le structure de R ou de C, et a été de ce fait l’objet d’une multitude de démonstrations d’Alembert, Euler, Lagrange, Argand Cauchy, Laplace, et qu’il continue à en susciter. … Un point central de cette réflexion se trouve dans le fait quasi paradoxal que ces démonstrations utilisent en derniers recours, des moyens non algébriques, c’est-à-dire des moyens liés à l’analyse. »
Dans ce chapitre, l’auteur envisage « de revenir aux origines de cette réflexion en étudiant ce théorème à travers l’une de ses premières démonstrations, celle que Gauss a trouvé à l’âge de vingt ans et proposée comme dissertation doctorale à l’université de Helmstädten 1799. Pourquoi celle-ci plutôt qu’une autre ? Parce qu’elle est la première à poser le problème de façon claire et précise, explicitant tout ce qui était auparavant admis de façon plus ou moins implicite, et dissipant le halo de mystères qui entourait et obscurcissait encore passablement les nombres imaginaires de cette époque, véritable ombres d’une ombre comme Gauss les qualifiera. »