Plan du chapitre :
1. Que doit-on enseigner ? Deux siècles de mathématiques obligatoires – Deux millénaires d’enseignement des mathématiques…
2. L’enseignement doit-il être uniforme ? Quelles sont les mathématiques liées à l’enseignement ?
3. Un double processus d’approximation et d’intégration des logarithmes – Pourquoi parler des logarithmes – L’histoire des notations – Une table d’approximation numérique comme lieu de savoir – L’affirmation de Napier – Le logarithme décimal – L’essor du décimal – Le sens fonctionnel des logarithmes – La punition des logarithmes : une paradoxale et provisoire mise à l’écart – L’aire sous l’hyperbole : le logarithme géométrisé – Qu’est-ce qu’un invention mathématique ? – Les raisons pédagogiques d’un refus du logarithme – Une méthode : l’insertion des logarithmes dans l’algèbre des séries numériques – L’analyse des logarithmes : le naturel qualifié – La série de l’exponentielle – Une fracture et sa réduction : mathématiques élémentaires et mathématiques transcendantes – La continuité
4. Les sélections variables d’une mathématique unique – L’aventure des logarithmes dans l’enseignement – L’unique revendiqué – Les « mathématiques modernes » et l’autorité – Les changements de programme – l’adéquation et la sélection – Le retard
5. La mémoire mathématique ; objets, styles et postérités – La mémoire immédiate du vrai et du faux – L’angle droit quantifié – La relation de Pythagore – Du qualitatif au quantitatif – Similitude et pythagoricité – Une précaution – L’orthogonalité – Le cercle trigonométrique – La perpendicularité – La perpendiculaire selon Arnauld – Orthogonalité et perpendicularité – Un calcul naturel : les séries de Fourier, un système infini d’équations linéaires, approché par un système fini. Le souvenir de Wallis – La mise en question. Les coefficients de Fourier – L’orthogonalité retrouvée – La postérité de Fourier – D’Euclide à Hilbert
6. La mathématique enseignée comme histoire virtuelle – La mathématique sans histoire – Les changements en mathématiques, une familiarité avec le passé – Reconstitution historique – Un herbier des courbes – Reconstruire la mathématique passée – La mathématique enseignée – Géométrie élémentaire – La mathématique élémentaire dans l’histoire – Les éléments de mathématiques – Thalès et Pythagore – La dignité de l’élémentaire.