spirale logarithmique
spirale de Descartes
spirale de Bernoulli
spirale exponentielle
spirale de Gregory
spirale équiangle
spirale proportionnelle
spirale de croissance
GEOMETRIE
Autres noms : spirale équiangle, spirale de croissance, spirale de Bernoulli , spirale de Descartes , spira mirabilis ; le nom « spirale logarithmique » a été donné par Varignon .
La spirale logarithmique est la courbe d’équation polaire r = abϑ.
C’est une courbe transcendante.
On peut définir la spirale logarithmique comme trajectoire d’un point M se déplaçant sur une droite passant par O avec une vitesse proportionnelle à OM, cette droite tournant elle-même uniformément autour de O ; ou encore comme courbe en coordonnées polaires telle que lorsque l’angle polaire croît de façon arithmétique, le rayon vecteur croît de façon géométrique.
Elle est appelée spirale logarithmique car le logarithme de r est proportionnel à l’angle polaire t : ln r = t * ln a.
Elle est aussi dite équiangle car les tangentes aux points d’intersection de la spirale avec tout axe polaire (c’est à dire passant par l’origine des coordonnées) sont parallèles.
Cette courbe a été étudiée par Descartes et Toricelli en 1638, puis par Jacques Bernoulli (1654-1705) qui la nomme spira mirabilis du fait de ses propriétés d’invariance remarquables dans diverses transformations géométriques. Il prouva notamment qu’elle est égale à sa développée (enveloppe de ses normales). Aussi il fit graver une spirale logarithmique sur sa tombe dans la cathédrale de Bâle, avec l’épigraphe : eadem mutata resurgo (déplacée, je réapparais à l’identique). Mais le graveur, plus artiste que mathématicien, a tracé une spirale d’Archimède …
On retrouve la spirale logarithmique dans la forme de certaines galaxies, dans le développement de certaines coquilles de mollusques, dans l’agencement de certaines fleurs. Elle a été souvent utilisée dans les constructions architecturales (jardins, châteaux), dans lesquels la forme en ouverture confère à l’édifice une impression d’infini, et dans la forme de certains barrages du fait de sa résistance mécanique à la pression.