tétraèdre de Pascal
pyramide de Pascal
tétraèdre arithmétique
ARITHMETIQUE
COMBINATOIRE
Le tétraèdre arithmétique, ou pyramide de Pascal, ou tétraèdre de Pascal est une généralisation en dimension 3 du triangle de Pascal .
Au lieu de s’intéresser aux coefficients du développement de (a+b)n, on considère les coefficients du développement de (a+b+c)n. Une disposition généralise celle du triangle de Pascal et conduit au tétraèdre arithmétique où chaque étage est la représentation du développement d’une puissance de (a+b+c).
Chaque étage est un triangle dont les côtés sont les lignes du triangle de Pascal. Par exemple, à l’étage du développement de (a+b+c)4, les nombres sur les cotés du triangle sont 1, 4, 4, 1. Chaque face du tétraèdre (autre que la base) est un triangle de Pascal. Chaque nombre à l’intérieur du tétraèdre est la somme des trois nombres directement au-dessus de lui. On trouvera une représentation très lisible sur https://accromath.uqam.ca/2020/09/du-triangle-de-pascal-aux-simplexes-de-pascal/
Les coefficients des développements du trinôme qui constituent ce tétraèdre donnent lieu à des interprétations intéressantes en combinatoire.
Le tétraèdre arithmétique a des applications dans la théorie des nombres, la combinatoire et la géométrie discrète.
Une généralisation à des dimensions supérieures est appelé (p-simplexe de Pascal , etc.) ne serait pas simple à visualiser et on étudie de façon algébrique.