Bulletin de l’APMEP. N° 342. p. 31-40. De la recherche jusqu’à nos classes : représentation diophantienne des nombres de Fibonacci.

English Title : From research into the classroom: Fibonacci numbers in diophantic form. (ZDM/Mathdi)
Deutscher Titel : Aus der Forschung ins Klassenzimmer: Fibonaccizahlen in diophantischer Darstellung. (ZDM/Mathdi)

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Auteur : Cuculière Roger

Résumé

Dans cet article, l’auteur retrace l’histoire d’un résultat lié à la représentation diophantienne des nombres de Fibonacci et en donne une démonstration accessible aux élèves des classes de terminale.

Voici le plan de l’article :
1. Le dixième problème de Hilbert et sa solution
2. Représentation diophantienne d’un ensemble diophantien – Théorème de Lucas
3. Une démonstration du théorème de Lucas
4. Dans nos classes

Abstract

For the natural numbers, x and y, the nonnegative values of the polynomial of 5th degree Q(x,y)=-y[+2y x+y x -2y x -y(x -2)=y 2-(x +xy-y ) agree with set of Fibonacci numbers. This is proved by using Lucas’s Theorem, which is subsequently proved to competent 6th-form pupils. It states that the whole-number solutions (x, y) of the diophantic equation (x +xy-y ) =1, alongside (x,y)=(1,0), agree with tuples of Fibonacci numbers F(n). That is (x,y)= F(n-1), F(n) , for n>=1. Through this article, the author seeks to show that one should also use material in class which confronts pupils with the results of recent research. As a matter of fact, the polynomial Q(x, y) was not discovered until 1975 by J.P. Jones and connects up with the efforts to solve Hilbert’s 10th problem, concluded in 1970. (ZDM/Mathdi)

Zusammenfassung

Fuer natuerliche Zahlen x, y stimmen die nichtnegativen Werte des Polynoms 5. Grades Q(x,y)=-y[+2y x+y x -2y x -y(x -2)=y(2-(x +xy-y ) ) mit der Menge der Fibonaccizahlen F ueberein. Dies wird mit Hilfe des Satzes von Lucas nachgewiesen, der anschliessend mit Schuelern der Oberstufe zugaenglichen Mitteln bewiesen wird. Er besagt, dass die ganzzahligen positiven Loesungen (x, y) der diophantischen Gleichung (x +xy-y ) =1 neben (x,y)=(1,0) mit Tupeln aus Fibonaccizahlen F(n) uebereinstimmen, d.h. dass gilt (x, y)=(F(n-1), F(n)) fuer n>=1. Mit diesem Artikel moechte der Autor die Moeglichkeit aufzeigen, auch im Klassenzimmer Stoff zu behandeln, der die Schueler mit Resultaten neuerer Forschung konfrontiert; das Polynom Q(x, y) wurde naemlich erst 1975 von J.P. Jones entdeckt und steht im Zusammenhang mit den im Jahre 1970 zum Abschluss gebrachten Bemuehungen zur Loesung des 10. Hilbertschen Problems. (ZDM/Mathdi)

Notes

Cet article est publié sous la rubrique « Etudes ».

Le Bulletin de l’APMEP (appelé « Bulletin Vert ») s’efforce, par des articles de fond : de couvrir l’actualité de l’enseignement des mathématiques de la maternelle à l’université, de contribuer à la formation approfondie des enseignants, d’entretenir, chez ceux-ci, l’esprit de recherche et de susciter des échanges avec ses lecteurs.
Il paraît 5 fois par an de sa création à 2018, année où suite à un changement de politique éditoriale, l’APMEP publie une revue unique Au Fil des Maths – le Bullletin de l’APMEP.

Données de publication

Éditeur Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public (APMEP) Paris , 1984 Format A5, p. 31-40 Index Bibliogr. p. 39-40
ISSN 0240-5709

Public visé chercheur, enseignant, formateur Niveau lycée, terminale Âge 17

Type article de périodique ou revue Langue français Support papier