Pourquoi démontrer ? Qu’est-ce que démontrer ? Quel sens cela a-t-il de démontrer ? Quelle est la valeur et la signification d’une démonstration ? Ces questions sont les préliminaires à toute réflexion sur l’apprentissage de la démonstration. Tout comme le problème du sens des contenus mathématiques enseignés est premier dans la recherche d’une démarche enseignante visant la construction des savoirs par les élèves. L’histoire des mathématiques est un moyen de saisir la portée et la signification des objets mathématiques : à quels problèmes répondait leur élaboration, pour quelles raisons ont-ils connu des rectifications ? Les concepts et les théories mathématiques ont une histoire, tout comme la notion de rigueur ou l’idée de démonstration. Pour éclairer les questions ci-dessus nous interrogeons donc l’histoire en recherchant quelles furent les significations de la démonstration et en nous attachant aux moments essentiels, à savoir celui de la naissance de l’idée de démonstration et ceux où se sont opérés deux ruptures importantes, aux 17e et au 19e siècles. Nous mettons en regard de cet historique, les problèmes soulevés par l’apprentissage de la démonstration et les difficultés rencontrées par les élèves. Cela nous amène à approcher en des termes différents et plus complexes qu’elle ne l’est souvent la question de l’apprentissage de la démonstration, et à indiquer les limites des équivalences « démonstration = raisonnement déductif » et « démontrer = convaincre ». L’apprentissage de la démonstration doit s’opérer par étapes et nécessite la constitution d’une rationalité chez l’élève, ce qui nous conduit à privilégier l’élaboration, l’explicitation et le perfectionnement de méthodes de résolutions par les élèves.