Cet ouvrage est une réédition de l’ouvrage publié en 1971 par la librairie Dunod, traduction de Paul Rossier de l’ouvrage publié chez B-G Teubner Verlag sous le titre « Grundlagen Der Geometrie ».
La première partie (3 pages) donne une présentation de l’état du problème des fondements de la géométrie au moment où Hilbert s’en occupe. La deuxième partie, la plus volumineuse (175 pages) débute par les énoncés de cinq groupes d’axiomes suivis de l’étude de leur indépendance et compatibilité. Sont successivement étudiées la théorie des proportions, les aires planes, le théorème de Desargues, le théorème de Pascal. Cette partie se termine par les constructions géométriques basées sur les axiomes et des commentaires sur les chapitres précédents dus à Paul Bernays, collaborateur de Hilbert.
La troisième partie intitulée « Appendices aux fondements » débute par une introduction du traducteur puis aborde les points suivants : la droite considérée comme la ligne la plus courte entre deux points, le théorème de la congruence des angles à la base d’un triangle isocèle, la géométrie lobatchevskienne, les surfaces et la courbure, la notion de nombre, l’infini, les fondements des mathématiques.
La quatrième et dernière partie traite de travaux liés aux fondements de la géométrie : la géométrie de Halsted, la classification des axiomes, les congruences, la symétrie, le parallélisme, le théorème de Legendre et la continuité, les aires et volumes, les géométries non arguésiennes, les fondements de la géométrie selon Hjelmslev et Schur.
Tout comme dans la seconde partie les textes de Hilbert sont complétées de variantes suivant les éditions et de commentaires de Paul Bernays.
Il contient trois index terminaux « des théorèmes » selon les 10 éditions successives (de 1899 à 1968), des auteurs cités, des concepts.

1 – Etat du problème des fondements de la géométrie à la fin du XIXe siècle

2 – Fondements de la géométrie

I – Les cinq groupes d’axiomes
Les notions fondamentales de la géométrie et les cinq groupes d’axiomes
Premier groupe d’axiomes : appartenance
Deuxième groupe d’axiomes : ordre
Conséquences des axiomes d’appartenance et d’ordre
Troisième groupe d’axiomes : congruence
Conséquences des axiomes de congruence
Quatrième groupe d’axiomes : parallèles
Cinquième groupe d’axiomes : continuité

II – Compatibilité et indépendance des axiomes
Compatibilité des axiomes
Indépendance de l’axiome des parallèles. Géométrie non euclidienne
Indépendance des axiomes de congruence
Indépendance des axiomes de continuité

III – Théorie des proportions
Système complexe de nombres
Démonstration du théorème de Pascal
Le calcul segmentaire basé sur le théorème de Pascal
Proportions et similitude
Equations de la droite et du plan

IV – Des aires planes
Équidécomposabilité et équicomplémentarité des polygones
Parallélogrammes et triangles de même base et de même hauteur
Les aires des triangles et des polygones
Equicomplémentarité et aire

V – Le théorème de Desargues
Le théorème de Desargues et sa démonstration dans le plan à l’aide de la congruence
Impossibilité de la démonstration du théorème de Desargues dans le plan sans emploi de la congruence
Introduction d’un calcul segmentaire basé sur le théorème de Desargues mais sans emploi de la congruence
Propriétés commutative et associative de la nouvelle addition
Propriété associative et les deux propriétés distributives de la nouvelle multiplication segmentaire. – Équation de la droite
L’ensemble des segments considéré comme système complexe de nombres
Construction d’une géométrie de l’espace à l’aide d’un système arguésien de nombres
Signification du théorème de Desargues

VI – Le théorème de Pascal
Deux théorèmes sur la possibilité de démontrer le théorème de Pascal
Propriété commutative de la multiplication dans un système archimédien de nombres
Propriété commutative de la multiplication dans un système non archimédien de nombres
Démonstration des deux théorèmes relatifs à celui de Pascal. Géométrie non pascalienne
Démonstration d’un théorème quelconque d’intersection au moyen du théorème de Pascal

VII – Constructions géométriques basées sur les axiomes (I) à (IV)
Les constructions géométriques à la règle et à l’empan
Critère de la possibilité d’une construction géométrique à la règle et à l’empan

3 – Appendices aux fondements
La droite considérée comme la ligne la plus courte entre deux points
Sur le théorème de la congruence des angles à la base du triangle isocèle
Fondements nouveaux de la géométrie lobatchevskienne
Sur les fondements de la géométrie
Sur les surfaces à courbure totale constante. Courbure négative. Courbure positive
Sur la notion de nombre
Sur les bases de la logique et de l’arithmétique
Sur l’infini
Les fondements des mathématiques
Problèmes relatifs aux fondements des mathématiques

4 – Quelques travaux liés aux fondements
Introduction
La géométrie rationnelle de Halsted
La classification des axiomes
A propos du troisième degré d’appartenance
A propos de la congruence (La liberté des déplacements. L’unicité des reports. La seconde réflexivité de la congruence des segments)
La symétrie
Parallélisme et géométrie elliptique
Les théorèmes de Legendre et la continuité
A propos de la continuité. – A propos de l’intégrité
La théorie des segments proportionnels selon Mollerup
Les aires
Les volumes des polyèdres
Géométries non arguésiennes
Indépendance des constructions de l’axiome des parallèles
Les fondements de la géométrie selon Hjelmslev
Les fondements de la géométrie selon Schur