Après un court avant propos de Gaston Julia et une préface de l’auteur, sont proposées des clés de lecture de cet ouvrage qui comporte cinq chapitres.
Dans le premier « Notions préliminaires » sont présentées les éléments essentiels pour la compréhension des suivants : espaces vectoriels, homomorphismes, dualité et « couplage », groupes, corps, etc.
Le suivant « Géométrie affine et géométrie projective » débute par trois axiomes nécessaires à la construction d’une géométrie à partir d’un corps quelconque, propose les théorèmes de Pappus et de Desargues et se termine par le théorème fondamental de la géométrie projective et la mise en place du plan projectif. Quelques sujets d’exercices sont posés en fin de ce chapitre.
Le troisième chapitre « La géométrie symplectique et la géométrie orthogonale » part des structures métriques pour permettre de définir ces géométries et se terminer par le théorème de Sylvester.
Le quatrième chapitre « Le groupe linéaire général » traite d’abord des déterminants non commutatifs puis étudie la structure du groupe linéaire GLn (k) et les espaces vectoriels sur les corps finis.
Le cinquième et dernier chapitre « La structure du groupe symplectique et du groupe orthogonal » contient des prolongements vers les espaces elliptiques, l’algèbre de Clifford, la norme spinorielle et se termine par un exercice.