Quelques éléments d’analyse fonctionnelle faisant partie de l’enseignement du module optionnel d’Analyse 2 de la première année de la maîtrise de mathématiques 2005-2006.
Il s’agit d’un enseignement des fondements, consacré presque exclusivement à cinq sujets, qui sont
– les espaces fonctionnels, espaces vectoriels normés ou topologiques localement convexes métrisables, et les constructions générales, sous-espaces, produits et quotients notamment, qui leur correspondent,
– la compacité faible, en privilégiant le cas métrisable, celle de la boule unité d’un espace hilbertien séparable en particulier,
– la compacité forte, avec le théorème d’Ascoli, et ses applications que sont le théorème de Montel et celui de Cauchy-Arzelà,
– la complétude, avec la complétion d’un espace normé, l’exemple des espaces Lp, et la théorie de Baire et ses compétences, théorèmes de Banach, du graphe fermé, de Banach-Steinhaus,
– la dualité, avec le théorème de Hahn-Banach, la dualité faible, la dualité forte entre Lp et Lq, et le théorème de Mackey-Bourbaki.

Une partie du contenu se trouve déjà dans l’enseignement de la licence. Cependant il apparaît que les concepts correspondants ont été très peu assimilés et que revenir dessus n’est pas superflu, au contraire.
L’originalité est d’avoir choisi d’exposer la plus grande partie de ce contenu sous la forme d’exercices ou de problème.
Pour ces derniers, on ne s’est pas contenté de donner des solutions type comme on en trouve en général dans les ouvrages. On a essayé de retranscrire une partie des tentatives faites par les étudiants pour atteindre la solution. Pour cette raison il peut arriver que l’on explore rapidement une fois sans issus ou que ne prenne pas la voie plus directe.
Par ailleurs on a ajouté quelques conseils ici ou là qui pourront paraître dérisoires à quiconque a déjà une petite expérience des mathématiques. Il faut bien comprendre que l’enseignement secondaire ne fournit pratiquement plus aux élèves l’occasion de s’attaquer à une démonstration. On a exagérément grossi la phase, faite d’expérience passive, conduisant à l’énonciation d’une propriété dont on ne soucie pas de la pertinence. Ensuite on fait croire que la démonstration va de soi. A l’université on ne demande pas aux étudiants de produire par eux-mêmes des démonstrations analogues à celles qui leur sont faites en cours, lorsque c’est le cas. Le résultat est que personne ou presque ne sait plus attaquer un petit exercice nouveau.