Deux figures du plan ou de l’espace qui peuvent être décomposées à l’aide des mêmes pièces sont bien sûr égales, (au sens de leur aire ou de leur volume). Mais la réciproque est-elle vraie ?
C’est l’objet du troisième des vingt-trois problèmes posés par Hilbert en 1900.

L’article parcourt l’étude de cette question depuis une lecture d’extraits des Eléments d’Euclide jusqu’au vingtième siècle avec des textes d’Archimède, de Thabit ibn Qurra, Grégoire de Saint-Vincent, Wallis et Newton. Il propose un travail avec les élèves sur la quadrature de la parabole et de l’hyperbole : proposition utilisant les principes d’équidécomposabilité et d’équicomplémentarité en effectuant la quadrature d’une figure, utilisant la théorie des proportions pour mesurer les figures … une relation entre les côtés de figures égales ; figures équidécomposables, équidécomposabilité de figures polygonales planes, de deux prismes de même volume, exemples de tétraèdres équidécomposables avec un cube ; condition d’équidécomposabilité de polyèdres.