D’après le Dictionnaire des mathématiques d’A. Bouvier, M. George et F. Le Lionnais, le terme « fonctions spéciales » désigne de façon imprécise des fonctions solutions d’équations fonctionnelles ou d’équations différentielles. Un grand nombre de ces fonctions ont reçu un nom, et sont intégrées à des logiciels de calcul formel. Le projet de R. Groux et Ph. Soulat est de permettre aux étudiants de L3, Master, CAPES et Agrégation de découvrir les principales d’entre elles. Mais pour cela un solide bagage de connaissances est nécessaire ; c’est pourquoi un copieux chapitre 1 (un tiers du volume) présente les outils de base : Séries de Fourier, Développement eulérien du sinus, Théorème de Cauchy-Lipschitz, Problème de Sturm-Liouville, Séries entières, Fonctions holomorphes, Théorème des résidus, Transformée de Laplace. Puis vient un catalogue de fonctions, dont certaines au nom familier, réparties en quatre familles :
Chapitre 2 : Fonctions Eulériennes : Fonction Gamma, Fonction digamma, Fonction Bêta, Fonction Zêta, Fonction de Lerch, Séries de Dirichlet ;
Chapitre 3 : Fonctions hypergéométriques : Fonctions de Bessel, Fonctions de Hankel, Equation hypergéométrique, Fonctions hypergéométriques, Fonctions d’Airy ;
Chapitre 4 : Polylogarithmes et fonctions intégrales : Dilogarithme, Formule de Simon Plouffe, Exponentielle intégrale,Sinus et cosinus intégral, Nombres géoharmoniques, Logarithme intégral, Fonction d’erreur Erf ;
Chapitre 5 : Fonctions elliptiques : Définition intégrale du sinus, Fonctions elliptiques de Jacobi, Fonction de Weierstrass.
Comme l’indique le titre de l’ouvrage, ces notions, y compris les prérequis du chapitre 1, sont introduites sous forme de problèmes, souvent en deux à quatre parties ; en général chaque partie correspond à une détermination différente de la fonction étudiée : intégrale, série, produit infini, solution d’équation différentielle. Souvent, la fonction est d’abord définie sur R (ou une partie de R), puis prolongée à C.
Le souci culturel n’est pas absent, car sauf pour le chapitre 1, on trouve en fin de corrigé (ou parfois à l’intérieur de l’énoncé) des compléments : brèves notes historiques, généralisations et prolongements avec ou sans démonstrations, état des lieux sur des conjectures encore ouvertes (zéros de la fonction Zêta de Riemann), applications à la physique (fonctions d’Airy et sismologie), évocation rapide de la théorie générale des fonctions elliptiques (dont seuls deux exemples sont étudiés). A noter que les résultats démontrés sont parfois récents (formule de Simon Plouffe : 1995).