Cet ouvrage propose des leçons pour la préparation de l’oral de l’Agrégation de Mathématiques. Au lieu de leçons « terminées », il donne des éléments constitutifs pour faciliter leur élaboration. Ce n’est pas un cours linéaire ou progressif, les leçons sont placées suivant l’ordre alphabétique des sujets traités ; les 68 titres : 34 en analyse (incluant les probabilités), autant en algèbre (incluant la géométrie) veulent cerner ce qui peut être traité sans le sujet de leçon annoncée (au total sont écrits près de 1000 énoncés de définitions, propositions, exercices) ; ces sujets proposent des pistes à partir desquelles le lecteur peut bâtir un plan, et une documentation où il peut compléter son information. Ce livre pourrait par ailleurs être utilisé pour les références précises qu’il indique dans une centaine d’ouvrages, au titre de source documentaire ou de tour d’horizon culturel (plus de 100 mathématiciens sont cités pour des résultats attachés à leur nom).

Parmi les sujets traités :
– compacité, connexité, complétude, théorèmes de points fixes, prolongement de fonctions, continuité uniforme, dénombrabilité, applications linéaires continues entre espaces vectoriels normés, méthodes hilbertiennes, R, théorème d’inversion locale et théorème des fonctions implicites, différentiabilité, …
– problèmes de dénombrement, action de groupes, groupes abéliens finis, sous-groupes discrets de Rn et réseaux, sous-groupes distingués et groupes quotients, groupes finis, groupe symétrique, groupe linéaire, sous-groupes finis de O(2) et O(3), utilisation des groupes en géométrie, …
Une leçon se compose de : construction de la théorie (définitions, propositions, méthodes, exemples, …) application dans le domaine où la notion est définie, utilisation dans des cadres s’éloignant progressivement de l’initial ; et comporte parfois des exercices (65 au total, la moitié résolus, les autres en général avec indication pour la recherche ou renvoi à un ouvrage qui les traite).
Au cours de l’ouvrage, l’auteur : propose une présentation ou des hypothèses moins classiques pour l’établissement d’un résultat, en vue d’une meilleure efficacité ultérieure ; développe son point de vue sur une notion, sur la pertinence d’exemples traditionnellement attachés à un sujet ; met en garde contre une difficulté inhérente à une formulation d’énoncé, à un point de démonstration, à un détail d’exposition de la théorie, où à un énoncé réciproque inexact ; pointe le moment d’intervention d’une hypothèse qui risque de passer inaperçue ; souligne l’importance d’un résultat pas immédiatement repérable comme fondamental, ou relativise l’intérêt d’un autre en proposant un cadre d’intervention plus riche ; éclaire le sens ou la portée d’un théorème en le reformulant sans terme de spécialiste ou en l’interprétant de différents points de vue ; rend plus visible l’enchaînement de certains théorèmes et précise des démonstrations d’autres propositions dans lesquelles ils interviennent ; propose parfois plusieurs preuves (démonstrations d’une page et demie au maximum) ou bien indique, pour établir une proposition, un ouvrage cité en bibliographie, en précisant la page utile ; étudie les liens entre différents sujets sur les notions en jeu comme sur les démonstrations des résultats, renvoie à d’autres leçons de l’ouvrage, élargit peu à peu le domaine d’étude, liste de ce qui pourrait encore être cité sur le thème (avec références à des pages précises des ouvrages nommés en fin de livre).
Avec ses commentaires, remarques, questions, explications, contre-exemples, parenthèses historiques, traductions intuitives, élans esthétiques (« joli résultat », « belle application »), … , souvent proches de la langue parlée, l’ouvrage pourrait souvent s’apparenter à un dialogue avec le lecteur qui ne négligerait ni la brillance de l’exposé ni la pédagogie de l’apprentissage.