nombre e

constante de Neper
nombre d’Euler

ANALYSE

Le nombre e, encore appelé nombre d’Euler , ou constante de Néper est la base du logarithme népérien, c’est-à-dire ln(e)=1. La notation « e », première lettre d’ « exponentielle », est due à Euler. Une valeur approchée est 2,71828. Euler a démontré que e est un nombre irrationnel (1748), Hermite que c’est un nombre transcendant (1873).

Le nombre e est :
• la somme de la série entière Σ0^∞ (1 / n!),
• la limite de la suite de terme général (1 + 1/n)ⁿ,

• la limite de la suite de terme général (p1 p2 .pi )^1/n où les pi sont les nombres premiers inférieurs ou égaux à n
• le seul nombre a tel que ∫1^a dt/t = 1
• l’unique réel a tel que la fonction x → a^x soit égale à sa dérivée

Le nombre e intervient dans de nombreuses branches des mathématiques, dans la formule de Stirling , dans la célèbre formule e^{i π} + 1 = 0 (démontrée par Euler en 1777) qui réunit les cinq plus célèbres nombres de l’analyse.
En 1748 Euler connaissait 18 décimales de e, on en connaît aujourd’hui (2010) mille milliards grâce aux performances des ordinateurs.

Remarque : bien d’autres notions peuvent être appelées « nombre d’Euler » que ce soit en mécanique des fluides ou en mathématiques (voir notamment nombres d’Euler , nombre eulérien, relation d’Euler…)