problème isopérimétrique

GEOMETRIE

Le problème isopérimétrique est un problème d’optimisation très ancien.
En géométrie euclidienne, l’isopérimétrie est l’étude de propriétés des figures géométriques qui ont le même périmètre, et un problème isopérimétrique est un problème lié à cette étude.

Le problème le plus classique étant celui de la forme géométrique qui a la plus grande aire pour un périmètre donné. D’après la légende, la reine Didon aurait été la première à résoudre (intuitivement) ce problème. Les Grecs se sont intéressés à ce problème et l’ont résolu dans le cas d’un polygone à n côtés : celui qui a la plus grande surface est le polygone régulier.

On peut définir un problème isopérimétrique comme la généralisation et la mathématisation de ce type de problème : trouver parmi les figures planes de même périmètre celle dont l’aire est la plus grande, ou bien (énoncé dual) parmi toutes les figures de même aire celle dont le périmètre est le plus petit.
La solution définitive est donnée par le théorème isopérimétrique ou l’inégalité isopérimétrique.
Même si les solutions nous semblent intuitives, les démonstrations complètes sont délicates.

Le problème se généralise à l’espace et aux relations entre le volume et l’aire d’une figure : de toutes les surfaces d’aire donnée, celle qui détermine le solide de plus grand volume est la sphère.

Jacques Bernoulli , Steiner ont étudié le problème isopérimétrique. C’est Weierstrass qui, dans le cadre du calcul des variations, résout le problème en dimension 2.
Minkowski , Hausdorff , A. Alexandrov , W. Fenchel généralisent le problème.