théorème isopérimétrique

inégalité isopérimétrique

ANALYSE
GEOMETRIE

Le problème isopérimétrique, généralisation du problème posé dans la mythologie à Didon , est la recherche des figures de plus grande aire parmi celles qui ont le même périmètre. Si la tradition veut que Didon l’ait résolu intuitivement, une solution rigoureuse est délicate.
Dans l’Antiquité grecque, on mesurait une surface par son périmètre (on trouve dans Homère « la ville de Troie fait 10200 pas ») et on connaît des théorèmes concernant les polygones et basés sur la géométrie du triangle. Les mathématiciens arabes améliorent les démonstrations (Al-Tusi ).
C’est au 19e siècle que des progrès importants apparaitront avec Steiner , Weierstrass et H.A. Schwarz . Enfin après les travaux de Minkowski , Hausdorff , Tommy Bonnesen, A. Aleksandrov , le théorème est démontré pour les géométries euclidiennes et la mesure de Lebesgue .
Enoncé dans le plan euclidien : S désigne une surface fermée convexe d’un plan euclidien dont l’aire a est finie et strictement positive ; le périmètre de cette surface est noté p.
La surface S possède une aire inférieure à celle d’un disque de périmètre p. L’égalité entre les aires n’a lieu que si S est un disque.
On peut l’écrire p² – 4πa ≥ 0 . Sous cette forme, le théorème est appelé inégalité isopérimétrique.