De même que, dans les mathématiques contemporaines, les matrices sont susceptibles de représenter une diversité d’objets algébriques, leur histoire se joue sur une longue période, dans des contextes divers et s’enrichit de la rencontre entre différents champs de recherche. Dans cet article nous rentrons dans le détail de textes publiés entre 1850 et 1890 par des auteurs comme Arthur Cayley, James Joseph Sylvester et Eduard Weyr. En mettant un avant les contextes culturels dans lesquels s’inscrivent ces différents auteurs, nous observerons des pratiques différentes dont la rencontre provoquera un enrichissement du champ des significations associées à la notion de matrice. Nous verrons que poser la question de l’histoire de la notion de matrice permet d’observer des aspects culturels des mathématiques antérieurs aux théories structurelles et unificatrices comme l’algèbre linéaire des années trente du XXe siècle.

Cet article s’appuie sur de nombreux extraits de textes originaux placés dans le corps du texte et sous forme d’encarts, la lecture n’en est cependant jamais obligatoire et l’ensemble de l’article peut être parcouru en laissant à une seconde lecture l’étude des citations.

Utilisation dans l’enseignement

Plusieurs problèmes mathématiques présentés dans cet article peuvent être abordés avec des étudiants. Selon le niveau de généralité choisi (matrices symétriques, diagonalisables ou quelconques, à coefficient dans un corps algébriquement clos ou dans un anneau principal) les problèmes proposés peuvent être exploités à des niveaux très différents, des premières années d’université à la préparation de l’agrégation.

Le problème des types d’intersections des coniques étudié par Sylvester entre 1850 et 1851 peut donner lieu à un travail sur les difficultés posées par la multiplicité des valeurs propres d’une matrice. Les différents types d’intersections de coniques permettent de représenter dans un cadre géométrique les différentes décompositions du polynôme caractéristique ou minimal et les différentes formes canoniques associées.

Le problème de la détermination des « racines » des fonctions homographiques posé par Cayley en 1858 fournit une situation dont l’étude peut déboucher, de manière constructive, à l’introduction des « lois » du calcul matriciel et des pratiques polynomiales associées (théorème de Cayley-Hamilton). Le problème des matrices périodiques permet d’aborder les difficultés propres au calcul matriciel (anneau non intègre et non commutatif). L’ambigüité de la notion de « single quantity » de Cayley et l’efficacité des pratiques polynomiales qui l’accompagnent peuvent donner lieu à un travail sur les quantités multiples (algèbres associatives).
Les travaux menés par Sylvester entre 1880 et 1885 permettent de travailler sur le problème de la définition des fonctions de matrices. Un travail peut également être mené sur les quaternions et les nonions afin d’introduire les méthodes élaborées pour la détermination des matrices qui commutent avec une matrice donnée (polynôme minimal, matrices dérogatoires, nullité d’une matrice).

Les procédés opératoires sur la forme matricielle élaborés par Eduard Weyr entre 1885 et 1890 permettent d’introduire ou d’approfondir la principale méthode de démonstration du théorème de Jordan (décomposition de l’espace en sous espaces caractéristiques invariants pour un opérateur donné).

Enfin, la présentation, dans la première partie de cet article, de la synthèse théorique élaborée dans les années trente permet de mettre en évidence les enjeux pédagogiques portés par la forme matricielle. En même temps que s’élabore une synthèse qui donne à la théorie des matrices un caractère universel, les traités des années 1930 adoptent une organisation didactique basée sur le caractère opératoire de la représentation imagée des matrices, représentation présentée comme simple, efficace et permettant d’assimiler des théorèmes généraux.