Cette brochure présente le travail du groupe Culture scientifique de l’IREM d’Orléans. Son but est de fournir aux enseignants de mathématiques quelques démonstrations utilisant la notion d’aire d’après des exemples puisés dans l’histoire des mathématiques. Tout en conservant l’esprit des démonstrations d’origine, une partie du travail a consisté à les adapter au langage mathématique actuel et à proposer des activités pour la classe.
Cinq thèmes ont retenu l’attention du groupe :
* Quadratures
* Pourquoi est-ce la même constante qui figure dans les formules de l’aire du disque et de la circonférence du cercle ?
* Le problème isopérimétrique
* La géométrie des indivisibles
* Une suite géométrique pour calculer une aire

Chacune de ces situations est accompagnée d’activités utilisables dans les classes de la seconde à la terminale.
Ainsi suite à l’étude des quadratures au cours de l’histoire, des activités sur les lunules sont proposées aux élèves des classes de première scientifique.
Dans le deuxième chapitre, après actualisation, les démonstrations d’Euclide et d’Archimède sont le support à deux activités qui peuvent s’adresser à des élèves de terminale scientifique : la première fait appel au calcul intégral, la seconde utilise les suites adjacentes.
Le troisième chapitre propose une activité qui utilise les suites et les nombres complexes et une seconde activité qui permet d’établir la « quadrature de la parabole ».
Dans le quatrième chapitre, certaines parties de démonstration peuvent déboucher sur des travaux que l’on peut présenter à des élèves de seconde ou de première scientifique.
Le dernier chapitre propose une activité utilisant des suites et permet de découvrir la relation fondamentale du logarithme.