Ce livre présente des synthèses de cours, des exercices corrigés et des activités de mise en application sur quelques thèmes d’arithmétique utilisant des outils enseignés pour la plupart en terminale scientifique.
Chaque chapitre propose un prolongement du cours dans une rubrique intitulée « Pour en savoir plus », dans laquelle la contrainte habituelle de programmes d’enseignement s’efface au profit d’un développement des thèmes plus axé sur les mathématiques récentes. De plus pour se familiariser avec les notions exposées, chaque chapitre, sauf le premier, dispose d’exercices, corrigés en fin d’ouvrage. Si certains sont des applications directes du cours, d’autres proposent des sujets parfois méconnus, comme l’utilisation des suites réalisables afin de démontrer le petit théorème de Fermat pour les matrices entières, ou bien les extraordinaires idées d’Erdös mettant en évidence le rôle des petits diviseurs pour une classe particulière de fonctions multiplicatives.

L’avant-propos (2 pages) situe bien l’organisation du livre en six chapitres :

Chapitre1 : 0utils de base (13 p.).

Chapitre2 : Bézout et Gauss (24 p. dont trois d’énoncés de 10 exercices).
2.1. PGCD, PPCM, nombres premiers entre eux.
2.2. Les théorèmes de Bachet-Bézout et Gauss.
2.3. Equations diophantiennes ax+by=c.
2.4. Congruences.

Chapitre3 : Les nombres premiers (47 p. dont cinq d’énoncés de 22 exercices)
3.1. Le théorème fondamental de l’arithmétique.
3.2. Infinitude des nombres premiers, avec les preuves d’Euclide, Euler, Erdös.
3.3. Fermat, Lagrange, Wilson. Ordre d’un entier modulo p.
3.4. Le premier théorème de Mertens.
3.5. Fonction pi et inégalités de Tchebychev.
3.6. Nombres premiers en progressions arithmétiques.

Chapitre4 : Fonctions arithmétiques (applications de N* dans C) (44 p. dont 8 pour 18 énoncés d’exercices).

Chapitre5 : Points entiers proches d’une courbe plane (33 p. dont 4 pour 8 énoncés d’exercices).

Cinq pages explicitent les notations utilisées dans tout l’ouvrage.
Les solutions des 85 exercices, détaillées qui occupent 66 pages, sont suivies de deux annexes :
– Annexe A : Guide du raisonnement arithmétique qui rappelle d’intéressantes propriétés ;
– Annexe B : Estimations explicites utiles.