Bulletin de l’APMEP. N° 315. p. 601-612, 621-629. La règle, le compas et la théorie des corps.

avec des remarques de A. Faisant, A. Bouvier, J.-L. Ovaert.
English Title : Ruler, a pair of compasses, field theory. (ZDM/Mathdi)
Deutscher Titel : Zirkel und Koerpertheorie. (ZDM/Mathdi)

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Auteurs : Carréga Jean-Claude ; Faisant Alain. Collab. ; Bouvier Alain. Collab. ; Ovaert Jean-Louis. Collab.

Résumé

Dans cet article, les auteurs abordent la théorie des extensions de corps qui autorise les constructions de géométrie plane s’effectuant uniquement avec la règle et le compas. Des conjectures remontant à l’Antiquité ont pu être ainsi tranchée au cours du 19e siècle : quadrature du cercle, duplication du cube, trisection de l’angle, question des polygones réguliers constructibles à la règle et au compas.

L’article est composé des rubriques suivantes :
1. Points et nombres constructibles
2. Le corps des nombres constructibles
3. Caractérisation des nombres constructibles – rappels sur les extensions de corps – résultat de Wantzell
4. Applications au conjectures – la quadrature du cercle – la duplication du cube – les polygones réguliers

Abstract

First of all, the author explains construction by ruler and compasses which can be derived from multiple applications of two basic constructions. It is shown that the field of constructable numbers lies between the field of rational numbers and that of real numbers. With the help of successive field extension, attempts are made to reach the field of constructable numbers over the field of rational numbers. This will only be succesful by an extension of second degree. So, a number is constructable only if it algebraically over the rational numbers and with its degree being squared. This result is applied to the four classical problems: Quadrature of a circle, duplication of a cube, trisection of angles, construction of a regular polygon. (ZDM/Mathdi)

Zusammenfassung

Der Autor praezisiert zuerst, was man unter einer Konstruktion mit Lineal und Zirkel zu verstehen habe; sie laesst sich auf die mehrmalige Anwendung zweier Grundkonstruktionen zurueckfuehren. Es wird gezeigt, dass der Koerper der konstruierbaren Zahlen zwischen dem Koerper der rationalen und dem Koerper der reellen Zahlen liegt. Durch sukzessive Koerpererweiterung versucht man vom Koerper der rationalen Zahl aus zum Koerper der konstruierbaren Zahlen zu gelangen. Das gelingt nur dann, wenn der Grad jeder Erweiterung zwei ist. Hieraus folgt, dass eine Zahl genau dann konstruierbar ist, wenn sie algebraisch ueber den rationalen Zahlen und ihr Grad eine Zweierpotenz ist. Dieses Ergebnis wird auf die vier klassischen Probleme Quadratur des Kreises, Wuerfelverdopplung, Dreiteilung des Winkels und Konstruktion eines regelmaessigen n-Ecks, angewandt. (ZDM/Mathdi)

Notes

Cet article est publié sous la rubrique « Etudes ».

Le Bulletin de l’APMEP (appelé « Bulletin Vert ») s’efforce, par des articles de fond : de couvrir l’actualité de l’enseignement des mathématiques de la maternelle à l’université, de contribuer à la formation approfondie des enseignants, d’entretenir, chez ceux-ci, l’esprit de recherche et de susciter des échanges avec ses lecteurs.
Il paraît 5 fois par an de sa création à 2018, année où suite à un changement de politique éditoriale, l’APMEP publie une revue unique Au Fil des Maths – le Bullletin de l’APMEP.

Données de publication

Éditeur Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public (APMEP) Paris , 1978 Format A5, p. 601-612, 621-629
ISSN 0240-5709

Public visé chercheur, enseignant, formateur

Type article de périodique ou revue Langue français Support papier