nombre transcendant
ANALYSE
ARITHMETIQUE
Un nombre transcendant est un nombre qui n’est solution d’aucun polynôme à coefficients rationnels (ou, ce qui revient au même, à coefficients entiers).
Les nombres transcendants ne sont donc jamais rationnels, mais tous les irrationnels ne sont pas transcendants.
L’ensemble des nombres transcendants est non dénombrable (Cantor , 1878).
Déjà prévue par Leibniz (1682), l’existence des nombres transcendants est démontrée par Liouville (1844) qui construit le premier nombre transcendant connu. Lambert , en démontrant l’irrationalité de π, conjecture la transcendance de π et de e. Hermite démontre la transcendance de e (1873), Lindemann la transcendance de π (1882) (d’où on déduit l’impossibilité de la quadrature du cercle ). On en déduit le théorème d’Hermite-Lindemann et le théorème de Lindemann-Weierstrass .
Le septième problème de Hilbert , démontré et devenu théorème de Gelfond-Schneider, énonce que si a est un nombre algébrique non nul et différent de 1 et si b est un nombre algébrique irrationnel, alors le nombre ab est transcendant. Par contre si b est transcendant, ab peut être algébrique, et on ne sait pas caractériser lesquels.
Il existe d’autres questions non résolues concernant les nombres transcendants.