Ce projet de livre sur la géométrie projective comprend une introduction (35 p) dans laquelle, l’auteur nous explique comment est née l’idée le projet d’écriture de de livre. Ensuite suivent six parties :

– Partie I – La géométrie projective linéaire (91 p.)
Après une introduction rappelant les origines de la géométrie projective, l’auteur définit dans le premier chapitre les principales notions relatives à l’espace projectif : points, sous-espaces, homographies, repères, on explique le lien entre espaces affines et projectifs et commence à développer la notion de dualité.
Au chapitre 2, on applique les notions introduites au chapitre précédent pour faire de la géométrie plane. On montre notamment les théorèmes de Pappus, Desargues, la propriété de la polaire, etc.
Le chapitre 3 introduit le birapport, invariant projectif par excellence. La problématique de cette introduction s’inscrit dans la suite du résultat de triple transitivité du chapitre 1 (le « théorème fondamental » des anciens) : le groupe des homographies d’une droite est triplement transitif, mais pas quadruplement, et le birapport apparait comme l’obstruction à la quadruple transitivité. On étudie aussi le cas particulier du birapport -1, c’est-à-dire celui de la division harmonique et ses liens avec la polaire et les involutions.
Dans le chapitre 4, on s’intéresse au lien entre deux formes des automorphismes de P(E) : la forme algébrique (les homographies, issues d’applications linéaires bijectives de E) et la forme géométrique (les collinéations, bijections conservant l’alignement).

– Partie II – Invariants de la géométrie projective linéaire (264 p.)
Le premier chapitre est consacré à introduire les invariants (crochets et évaluations), les concomitants (produit extérieur) et à rappeler quelques notions de géométrie algébrique et de représentations des groupes.
Au chapitre 2, on explicite les notions de propriétés, constructions et théorèmes projectifs, leurs liens avec les invariants et on établit le « méta théorème » qui montre que les théorèmes proviennent de relations entre les invariants.
Le chapitre 3 contient les énoncés des théorèmes fondamentaux permettant de déterminer tous les invariants et toutes les relations. On voit apparaître, en particulier, les relations sur cinq lettres qui joueront un rôle fondamental dans la suite. Ces résultats seront prouvés au chapitre 6.
Entre temps, les chapitres 4 et 5 donnent une multitude d’illustrations des résultats en géométrie projective, puis affine. On y explique le lien entre les invariants algébriques et leurs avatars géométriques (birapport, aire) et cela permet de retrouver tous les théorèmes classiques sur le sujet.
Enfin, le chapitre 7 aborde la problématique des quotients, en illustrant le livre de Mumford sur quelques exemples simples, notamment le cas de cinq ou six points du plan.

– Partie III – La géométrie d’une forme quadratique, premier épisode : la conique (154 p)
La théorie des coniques a une histoire longue et riche qui est développée dans cette partie où l’auteur cite quelques faits parmi les plus saillants et quelques noms parmi les plus illustres.
Une bonne partie de cette histoire est déjà écrite dans l’Antiquité avec Archimède et Apollonius. Au XVIIe siècle, on retiendra surtout les noms de Descartes (pour l’invention de la géométrie analytique : les coniques), de Pascal (pour son théorème sur l’hexagone inscrit), de Desargues (pour l’involution associée à un faisceau) et de Newton (pour la preuve de l’observation de Kepler sur les trajectoires des planètes). En effet le rôle de Newton ne se limite pas à la loi de la gravitation universelle, le chapitre 3 donne un aperçu de la partie de son oeuvre qui traite directement de propriétés géométriques des coniques (notamment sur les tangentes). Dans ce même chapitre, à titre d’exemple, est abordé un « lemme de Poncelet » où sont utilisées deux de ses méthodes favorites : l’utilisation de la projection (ou de la transitivité) et le passage par les complexes avec le principe de continuité.
Au XIXe siècle, à côté de Poncelet, il faut se souvenir de Plücker (pour l’utilisation systématique des points cycliques), de Chasles (auteur d’un traité important sur le sujet et à qui l’on doit le calcul du nombre de coniques tangentes à cinq coniques données, sans doute le théorème le plus difficile sur les coniques), de Dandelin et Quételet (à qui l’on doit la détermination des foyers d’une section conique) et de Frégier , de Cayley (qui applique aux coniques sa colossale puissance de calcul), etc.

– Partie IV – La géométrie d’une forme quadratique, deuxième épisode : les géométries non euclidiennes (370 p)
L’entrée choisie ici dans les géométries non euclidiennes consiste à partir d’un plan projectif P(E) muni d’une forme quadratique non dégénérée q (le cas dégénéré, qui correspond à la géométrie euclidienne, sera étudié dans la partie suivante). On a choisi, dans la mesure du possible, de mener de front l’étude des deux cas : q anisotrope (géométrie elliptique) et q de Lorentz (géométrie hyperbolique).
Le chapitre 1 plante le décor, avec quelques innovations, dont l’usage des points « extérieurs » dans le cas hyperbolique, l’objectif étant de pouvoir utiliser pleinement la dualité. Les modèles des géométries non euclidiennes, évoqués ci-dessus, sont étudiés au chapitre 2. Le chapitre 3 permet, sur l’exemple des droites remarquables du triangle, de vérifier l’intérêt du cadre choisi et des choix effectués. Les trois chapitres suivants tournent autour de la transitivité, dans le cas général (Ch. 4), puis dans le cas réel (Ch. 5,6). Ils permettent d’introduire les invariants : longueur, angle, spin. L’objectif de ces chapitres est le calcul de quotients sous l’action du groupe PO(q) (notamment celui de l’espace des triangles). La question est évidemment liée aux cas d’isométrie des triangles. Le chapitre 7 traite des cercles et de leurs avatars (équidistantes, horicycles) et le chapitre 8 des invariants orientés (vecteurs, angles, aires). On verra que l’absence de sous-groupe distingué dans PO(q) rend ces notions moins commodes que dans le cas euclidien. Enfin, le chapitre 9 revient sur les invariants en prouvant les deux théorèmes fondamentaux : on les connaît tous, ainsi que leurs relations.
Cette partie contient de nombreuses figures, réalisées avec le logiciel Cabri.

– Partie V – La géométrie d’une forme quadratique, troisième épisode : la géométrie euclidienne (250 p)
Le chapitre 1 commence par quelques rappels sur le point de vue vectoriel-affine ordinaire, et notamment les groupes d’isométries et de similitudes et leurs invariants, afin de permettre au lecteur de prendre ses marques. Le chapitre 2 entre dans le vif du sujet avec l’introduction de la forme quadratique dégénérée q sur le dual E d’un espace vectoriel de dimension 3. On y montre comment récupérer la situation usuelle, parfois au moyen de choix qui sont explicités. Le chapitre 3 a pour but de montrer que les groupes naturellement associés à la donnée de q sont les mêmes que ceux de la géométrie euclidienne usuelle, à quelques variantes près. On commence à y aborder les propriétés de transitivité, dans le cadre vectoriel, donc algébrique. Le chapitre 4 permet au lecteur épuisé par les développements théoriques des chapitres précédents, de se reposer en retrouvant les théorèmes de son enfance : concours des droites remarquables du triangle et droite d’Euler, mais traités de notre point de vue.
Avec le chapitre 5, on continue l’étude de la transitivité, mais cette fois dans le cadre géométrique, avec les notions d’angles, distances et aires, et les cas d’isométrie et de similitude des triangles. On introduit aussi quelques outils d’algèbre (déterminants de Cayley-Menger, notamment). Le chapitre 6 attaque le problème des espaces de points et de droites modulo isométries, avec une première application aux triangles. Cette étude se poursuit au chapitre 7 pour les quadrangles et quadrilatères, avec une partie importante sur les problèmes de cocyclicité (théorèmes de l’angle inscrit et de Ptolémée). Enfin, le chapitre 8 clôt cette étude en revenant sur la détermination théorique des invariants des différents groupes et de leurs relations qui sont apparus à de multiples reprises dans les chapitres précédents.

– Partie VI – La géométrie anallagmatique (ou géométrie de l’inversion) (182 p)
Cette partie comprend sept chapitres assez différents. Dans le premier, on présente le traitement élémentaire de l’inversion, essentiellement tel qu’on pouvait le trouver dans les manuels de terminale des années 1950. Ce chapitre culmine avec le théorème de Feuerbach, l’un des joyaux de la géométrie plane.
Le second chapitre est dévolu à l’approche complexe, autrement dit à la vision du groupe circulaire (direct) comme le groupe des homographies complexes PSL(2;C). Qui parle des homographies de la droite projective ne peut manquer d’évoquer le birapport et il occupe effectivement une place de choix dans ce chapitre, notamment avec le lemme des six birapports et sa kyrielle d’applications. L’entrée par la droite projective complexe est aussi l’occasion de traiter les problèmes de conjugaison.
Le troisième chapitre change radicalement de point de vue avec l’introduction de l’espace E des cercles-droites et de la forme quadratique q associée au carré du rayon. Points, droites et cercles se mettent à jouer sur un pied d’égalité et des notions comme les pinceaux deviennent bien naturelles dans ce cadre. Ce chapitre est l’occasion de prouver l’isomorphisme fondamental entre PO+(q) et PSL(2;C), que Klein évoque dans le programme d’Erlangen.
Les chapitres suivants s’appliquent à montrer que cette théorie ne manque pas d’applications. Au chapitre 4, on traite de toutes celles qui tournent l’autre l’est.
Enfin, le dernier chapitre reprend l’étude des invariants, comme dans les parties précédentes, avec ici un accent particulier mis sur le birapport et sa traduction dans l’espace des cercles. Il se termine par un retour sur le théorème de Feuerbach, abordé de manière analytique et cela permet de discuter encore une fois des liens entre théorèmes et relations entre les invariants.

Dans une postface (49 p.), l’auteur nous propose un argumentaire en faveur de la géométrie et de son enseignement.