Ce livre étudie le devenir des mathématiques occidentales depuis la mise en place du projet rationaliste par Pythagore, dont le rêve de fondation de l’ontologie sur des principes arithmétiques s’est heurté à la crise des grandeurs irrationnelles.
Dans une première partie intitulée « Remise en cause de la fondation aristotélico-euclidienne des mathématiques », l’ouvrage commence par suivre la construction des mathématiques occidentales, avec l’école de Pythagore et la fameuse « crise des irrationnels ». Il enchaîne avec la théorie de la démonstration d’Aristote, et avec son application à la géométrie par Euclide.
Le développement des mathématiques restera ensuite en sommeil en Europe, jusqu’à ce que les travaux des Grecs soient redécouverts, enrichis de ceux des mathématiciens du monde arabo-musulman. Ils permettront l’émergence d’une nouvelle étape menant à la naissance de l’algèbre (avec Viète) puis à la découverte des nombres complexes. Vient une première « déseuclidation » de la géométrie et de l’arithmétique avec l’invention de la géométrie algébrique, puis celle du calcul différentiel, qui mènera à la fin de la crise des irrationnels grâce à Cantor et Dedekind. L’auteur décrit ensuite une seconde « déseuclidation », avec la découverte des géométries non euclidiennes et la tentative de réunification des mathématiques dans l’algèbre structurelle.
L’ouvrage s’attaque après à la « désaristotélisation » de la logique (avec Frege), quand les liens entre l’arithmétique, la logique et la théorie des ensembles ont été établis, puis à la « déseuclidation » de l’axiomatique.
Les paradoxes liés à la théorie des ensembles et les difficultés liées à la notion d’infini non dénombrable conduiront à l’intuitionnisme de l’école de Brouwer. Le théorème d’incomplétude de Gödel ruinera définitivement l’espoir d’une théorie mathématique unifiée et complète, sans énoncé indécidable. Il faut alors renoncer à considérer les mathématiques comme un édifice pyramidal fini, voire même comme un océan infini sur lequel voguerait le bateau des mathématiciens : la reine des sciences ressemble plutôt à un multigraphe non connexe et non orienté, avec des branches infinies et des boucles, voire des cycles.