géométrie de Lobatchevski-Bolyai

géométrie hyperbolique
géométrie lobatchevskienne

GEOMETRIE

La géométrie hyperbolique, ou géométrie de Lobatchevski, ou géométrie de Lobatchevski-Bolyai est une géométrie non euclidienne. Elle vérifie les quatre premiers postulats d’Euclide mais refuse le cinquième postulat .

Elle est nommée (le plus souvent) d’après Lobatchevski qui publia le premier sa théorie, et d’après Janos Bolyai qui est arrivé, indépendamment, aux mêmes conclusions, à la même époque.

Depuis Euclide, de nombreux mathématiciens avaient tenté de démontrer le cinquième postulat, sans y parvenir mais en établissant de nombreux énoncés équivalents. Saccheri notamment, démontre que refuser le cinquième postulat équivaut à affirmer que « la somme des angles d’un triangle est inférieure à deux droits » (hypothèse de l’angle aigu). Lambert , reprenant ces travaux, n’aboutit pas non plus. Cependant ils démontrent des théorèmes qui font aujourd’hui partie de la géométrie hyperbolique. Gauss également a conduit des recherches sur ce sujet.
C’est Lobatchevski et Bolyai qui, indépendamment et à la même époque dans les années 1830, aboutiront à la construction d’une théorie basée sur l’hypothèse de l’angle aigu, où par un point donné on peut faire passer au moins deux (en fait une infinité) parallèles à une droite.

Quelques années plus tard, Riemann , remplaçant le cinquième postulat par l’impossibilité de mener par un point une parallèle à une droite, construit de son côté une théorie cohérente.
Les mathématiciens ont ensuite donné des représentations de la théorie de Lobatchevski : modèle de Beltrami-Klein (ou modèle du disque de Klein, modèle projectif), le modèle du disque de Poincaré (ou représentation conforme), le modèle du demi-plan de Poincaré, le modèle de l’hyperboloïde (ou modèle de Minkowski, ou modèle de Lorentz). Il existe des isomorphismes entre ces représentations.
Klein montra (1872, programme d’Erlangen) que les géométries non-euclidiennes peuvent être vues comme des géométries projectives sur une surface conique, d’où la terminologie : géométrie hyperbolique pour la théorie de Lobatchevski et géométrie elliptique pour la théorie de Riemann.