méthode d’exhaustion

raisonnement par exhaustion

ANALYSE

La méthode d’exhaustion date d’Eudoxe et d’Archimède . Elle évite le concept d’infiniment petit et d’infiniment grand, auxquels les grecs n’avaient pas recours : Zénon avait mis en évidence, au 5e siècle, les paradoxes liés à l’infini.
Utilisée au IIIe siècle av. J.C. , par Archimède pour démontrer les résultats sur les aires et les volumes (par exemple l’aire du disque), c’est Grégoire de Saint-Vincent qui l’appellera « méthode d’exhaustion » (ou méthode des Anciens), elle est en partie héritée d’Euclide (4e – 3e av. J.-C.).
La méthode d’exhaustion repose sur le principe appelé axiome d’Archimède :
En soustrayant de la plus grande de deux grandeurs données plus de sa moitié, et du reste plus de sa moitié, et ainsi de suite, on obtiendra une grandeur moindre que la plus petite.
La méthode nécessite la conjecture du résultat et ne permet que de le vérifier. En effet, on démontre par deux raisonnements par l’absurde que le résultat ne peut être ni supérieur ni inférieur au nombre prévu. Les calculs sont parfois très compliqués.
Elle sera utilisée jusqu’à la mise en place du calcul infinitésimal avec les travaux de Fermat , Pascal , Wallis puis ceux de Newton et de Leibniz , puis l’analyse infinitésimale d’Euler , et enfin les travaux de Cantor .