théorème de Sylvester

Ce terme peut renvoyer à plusieurs énoncés de James Joseph Sylvester (1814-1897), chacun pouvant être trouvé sous plusieurs formes :

1 – Le problème de Sylvester : étant donné un ensemble fini de points du plan non tous colinéaires, existe-t-il une droite qui contient exactement deux points ? Posé par Sylvester en 1893, il a été démontré plus tard par d’autres mathématiciens dont Tibor Gallaï en 1944, Eberhard Melchior en 1940.

2 – La loi ou théorème d’inertie de Sylvester : Soit Q une forme quadratique sur E, espace vectoriel réel de dimension finie. Alors, il existe (e1,…,en) une base de E, et des entiers p et q tels que, pour tout vecteur x=x1e1+…+xnen de E, on ait
Q(x)=x1²+…+xp²-xp+1²-…-xp+q².
En outre, si dans une autre base (f1,…,fn) de E, on a une décomposition du même type, c’est-à-dire qu’il existe r et s tel que, pour y=y1f1+…+ynfn de E, on ait
Q(y)=y1²+…+yr²-yr+1²-…-yr+s²,
alors on a nécessairement r=p et s=q. Le couple (p,q) s’appelle signature de Q.

3 – Théorème concernant le déterminant d’une matrice de Sylvester . Soient P et Q deux polynômes sur un corps K, alors Pet Q ont un diviseur commun si et seulement si leurs résultant est nul (où le résultant est le déterminant de la matrice de Sylvester des deux polynômes).

4 – Une généralisation du postulat de Bertrand (démontré par Tchebychev ) : le produit de k entiers consécutifs supérieurs à k est divisible par un nombre premier plus grand que k.