cycloïde
roulette de Pascal
courbe brachystochrone
courbe tautochrone
trochoïde
cycloïde droite
courbe brachistochrone
roue d’Aristote
ANALYSE
GEOMETRIE
En géométrie plane, l’ensemble des cycloïdes est la famille des courbes engendrées par un point M, fixe par rapport à un cercle (C’) qui roule sans glisser sur une droite (D) ou sur un cercle (C). La droite (D) ou le cercle (C) est la base, le cercle (C’) est la roulante.
Lorsque la base est un cercle, on parle d’hypocycloïde et d’épicycloïde .
Lorsque la base est une droite on parle de cycloïde ou trochoïde. La courbe dépend de la distance d du point M au centre du cercle (de rayon R).
Si d<R, il s'agit d'une cycloïde raccourcie.
Si d>R, il s’agit d’une cycloïde allongée.
Si d=R, on obtient une cycloïde, ou cycloïde droite.
La cycloïde droite
Cette courbe n’avait pas été étudiée dans l’Antiquité, mais le paradoxe des deux roues d’Aristote a conduit à l’étude de ses propriétés. Ce paradoxe est le suivant : deux cercles concentriques roulent sans glisser en étant tangents à deux droites parallèles. Lorsque l’un des cercles a fait un tour complet, l’autre aussi. Donc tous les cercles ont la même longueur.
La cycloïde a été étudiée par de nombreux mathématiciens dont Galilée (à qui on doit le nom de cycloïde), Roberval (qui la nommait trochoïde), Descartes , Mersenne , Pascal (qui l’appelait roulette), Huygens . C’est une courbe transcendante plane.
Equation paramétrique : x(t) = R (t – sin t) y(t) = R (1 – cos t)
La longueur de l’arche est 8 R (où R est le rayon du cercle).
L’aire d’une arche est 3 π R2
Une de ses propriétés est d’être une courbe brachistochrone, c’est à dire que parmi toutes les trajectoires d’un point pesant se déplaçant sans frottement et sans vitesse initiale d’un point à un autre, c’est la trajectoire parcourue dans le temps le plus rapide.
C’est aussi une courbe isochrone (ou tautochrone), c’est à dire que, quel que soit le point de départ d’une bille se déplaçant sur une arche de cycloïde, le temps de déplacement jusqu’à l’extrémité de l’arche sera la même.