Dans cet ouvrage, le lecteur trouvera une étude, dans son contexte historique et mathématique, du cours du franc-comtois François-Joseph Servois « Solutions peu connues de différens (sic) problèmes de géométrie » publié en 1805.
Le chapitre 1 présente le contexte historique : brève histoire des écoles militaires, et développement de la géométrie projective, de Pappus ( IVe siècle) à Félix Klein en passant par Desargues, Monge, Poncelet…
Le chapitre 2 est une biographie de Servois (1767-1847), tour à tour prêtre, lieutenant d’artillerie, professeur en école d’artillerie (avec documents d’époque).
Le chapitre 3 explique l’origine militaire des problèmes géométriques : recherche de bons angles de tir pour l’artillerie, avec les contraintes qui en résultent : notion de points et lignes inaccessibles, et prohibition de l’usage du compas (géométrie de la règle, les reports de longueurs restant possibles grâce à la chaîne d’arpenteur).
Le chapitre 4 s’appuie sur la partie théorique du livre de Servois : ses textes, énoncés de théorèmes et démonstrations, sont reproduits, avec traduction en langage et notations modernes, et commentaires ; il est en particulier souligné que, en l’absence à l’époque de la notion de mesure algébrique, ses preuves sont parfois incomplètes. Les figures originales sont remplacées chacune par plusieurs figures, complétées au fur et à mesure de la construction. Le contenu ne couvre qu’un domaine restreint de la géométrie euclidienne plane, autour des notions de quadrilatère complet, de birapport et division harmonique. On y rencontre entre autres les théorèmes de Céva, Ménélaüs, Pappus, Desargues, Monge, la droite d’Euler. Les démonstrations de Servois sont souvent originales, et constituent une ouverture sur les raisonnements projectifs.
Le chapitre 5 reproduit les 16 problèmes que Servois traite dans la deuxième partie de son livre, ainsi que leurs solutions, avec renvois aux résultats théoriques mis en jeu. Il s’agit de problèmes de constructions, et de mesures de longueurs, sur le terrain, rendues non-évidentes par la prohibition du compas et l’inaccessibilité de points.
Le chapitre 6 propose des Pistes pour une exploitation pédagogique, du collège à la troisième année de licence, qui font la part belle à l’usage de logiciels de géométrie.
Enfin, le chapitre 7 relate deux démonstrations historiques, l’une de Pappus et l’autre de Céva.