Cette première démonstration du théorème de Bernoulli par lui-même est intéressante à plus d’un titre. Le travail fin sur les coefficients binomiaux met bien en évidence la propriété de stabilisation des fréquences, source de la loi des grands nombres. Le traitement que fait Bernoulli de la notion de limite en probabilité est aussi très instructif, passant d’un raisonnement erroné inspiré par le calcul infinitésimal à une démonstration rigoureuse en termes de limites, bien avant que cette notion soit clairement dégagée notamment par Cauchy. Le caractère constructif de la démonstration de Bernoulli permet de déterminer le nombre optimal d’observations pour estimer une probabilité. C’est sans doute le premier résultat sur l’estimation par intervalle de confiance. Le résultat peu performant obtenu en fin de compte par Bernoulli est instructif sur les limites de la méthode et appelle les avancées de Moivre et de Laplace sur l’approximation de la loi binomiale par la loi normale. Après avoir situé historiquement la naissance de la pensée probabiliste et présenté les enjeux dégagés par Bernoulli dans son quatrième chapitre de la quatrième partie d’Ars Conjectandi, l’auteur étudie cette démonstration donnée en chapitre 5 dans le texte authentique traduit par Norbert Meusnier.

Plan du chapitre
1. La notion de probabilité avant Jacques Bernoulli ; 1.1 Les précurseurs : Galilée et Cardan ; 1.2 Les fondateurs : Pascal et Fermat ; 1.3 Premières définitions de la probabilité
2. La probabilité selon Bernoulli (1654-1705)
3. Le cadre du théorème, hypothèses et énoncé ; 3.1 Remarques introductives ; 3.2 Les hypothèses et les notations ; 3.3 L’énoncé du théorème selon Bernoulli
4. L’architecture de la démonstration
5. La démonstration ; 5.1 Démonstration du théorème ; 5.2 Démonstration du lemme 3 ; 5.4 Démonstration du lemme 4 ; 5.4 Démonstration du lemme 5
6. Application numérique
7. Démonstration moderne du théorème de Bernoulli ; 7.1 Conséquence directe de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ; 7.2 Une démonstration du théorème de Bernoulli suggérée par celle de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.