Les lois de Kepler et les lois de Newton sont des grands classiques du programme de Terminale avec spécialité physique-chimie. Seulement, il n’est pas possible de traiter complètement et analytiquement le problème physique considéré sauf dans le cas de trajectoires circulaires (mouvement de satellites par exemple). En effet, bien que les élèves apprennent les rudiments de cinématique, il ne leur est pas encore possible d’intégrer les équations du mouvement sauf dans le cas d’un système ponctuel (ou assimilé) plongé dans un champ constant de type gravitationnel (ou électrostatique). Seuls les cas de la chute libre et du classique « tir balistique », ainsi que la loi de rappel élastique (de Hooke) peuvent être envisagés sous l’angle de la résolution analytique.

Prenant appui sur des idées présentes dans la littérature mathématique récente et celles de grands précurseurs comme Newton et Hamilton, l’auteur montre que l’on peut avoir accès à une solution au problème de Kepler (résoudre l’équation de Newton et déterminer la trajectoire dans le cas de la force de la gravitation de Newton) sans passer par la méthode analytique, mais uniquement en utilisant la géométrie du plan et des transformations géométriques abordables au lycée.
Cela est notamment rendu possible par la facilité à déterminer un hodographe simple des problèmes physiques considérés. L’hodographe a été largement employé dans le passé mais n’est presque plus évoqué pour la résolution de telles situations, sauf pour des spécialistes et dans des cas bien particuliers. Il a ainsi semblé intéressant à l’auteur d’y revenir et de montrer que cet outil permet une étude simplifiée du problème.

L’auteur montre dans cet article que, par la connaissance d’une grandeur vectorielle conservée (le vecteur de Hamilton) et en utilisant des outils rudimentaires tels le produit scalaire et la conservation de l’aire d’un triangle, donc des notions géométriques, on peut proposer une démarche de résolution du problème plus illustrative, moins calculatoire et avec une plus haute portée pédagogique (illustration par l’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique pour la construction de la trajectoire).

STRUCTURE DE L’ARTICLE :
Introduction
A. Eléments de mécanique newtonienne – mise en place des notations
I. Les lois de Kepler
Première loi : loi des orbites
Deuxième loi : loi des aires
Troisième loi : loi des périodes
II. Newton, ses lois, l’attraction « approximativement » universelle
1°) Quelques notations
2°) Seconde loi de Newton
3°) Loi universelle de la gravitation
Remarques
III. Le problème à deux corps gravitationnel ou problème képlérien
1°) Position du problème
2°) Équation de la trajectoire
B. Solution « géométrique » de Newton
I. La seconde Loi de Kepler retrouvée
1°) Vitesse aréolaire
2°) Les fluxions de Newton : géométrie « différentielle » et cinématique
3°) Dynamique et « loi des aires »
II. Vecteur de Hamilton et équation polaire
1°) Constantes du mouvement
2°) Équation polaire de la trajectoire : première loi de Kepler retrouvée
3°) Caractéristiques de la trajectoire conique : première loi de Kepler retrouvée
4°) Similitude des trajectoires et lois de puissance : troisième loi de Kepler retrouvée
C. Hodographe et constructions géométriques
I. Hodographe du problème de Kepler
II. Constructions point par point de la trajectoire
1°) Méthode numérique à l’aide du logiciel GeoGebra
Remarque
2°) Méthode purement géométrique à la règle et au compas
III. Construction globale par composée de transformations géométriques du plan
Remarque
Bibliographie