Très controversé à ses débuts, l’axiome de choix joue un rôle important, bien qu’il soit méconnu dans la plupart des branches des mathématiques.
Une démonstration nécessite au départ des axiomes, des hypothèses, et des lettres appelées constantes de la démonstration. Peut-on en utiliser un nombre infini ? L’axiome du choix affirme qu’il est légitime d’utiliser une famille de constantes auxiliaires, indexées par un ensemble éventuellement infini. Autre énoncé : Le produit d’une famille non vide d’ensembles non vides est non vide.
L’auteur donne plusieurs exemples de l’utilisation de l’axiome de choix, en particulier des théorèmes sur les familles d’ensembles non vides, ou d’ensembles dénombrables, le principe de trichotomie (les cardinaux sont totalement ordonnés), le problème du « bon ordre ». Les principes du maximum utilisés pour des énoncés affirmant l’existence d’éléments maximaux dans certains ensembles ordonnés sont parmi les conséquences les plus efficaces de l’axiome de choix.
Suit tout une liste de résultats liés à cet axiome.
Enfin, l’axiome du choix est-il légitime ? Les mathématiciens l’ont utilisé avant de le justifier. Après un bref historique citant Heine, Köenig puis Zermelo (qui a été amené à axiomatiser la théorie des ensembles, suite à la polémique sur cet axiome du choix) et enfin Gödel et Cohen qui ont montré que cet axiome est indécidable.
En faveur de cet axiome, il y a son efficacité, et pire encore, on l’utilise souvent sans s’en apercevoir.