Dans ce recueil de textes, il s’agit de montrer l’intérêt d’un résultat, d’expliciter les raisons du choix d’une méthode, d’expliquer la naissance de nouveaux concepts. Inévitablement ce questionnement rejoint le problème des Fondements. La perspective est historique, la période soumise à examen est le XIXe siècle, avec des débordements sur le XXe. Chacune des contributions est accompagnée d’une bibliographie. L’introduction donne une liste non limitative des arguments mis en jeu : généralité, rigueur, utilité, tradition, simplicité, nouveauté, naturalité, élégance, esthétique…
– « L’argument de la généralité chez Carnot, Poncelet et Chasles » par Philippe Nabonnand : récit des avancées successives vers une géométrie pure aussi générale que la géométrie analytique, débarrassée des « cas de figure ».
– « L’Algèbre comme science chez W. R. Hamilton : le recours au Temps Pur » par Dominique Flament : Kant base la géométrie sur l’intuition de l’espace, Hamilton veut de même baser l’algèbre sur l’intuition du temps ; grâce aux paires d’instants, et à partir de l’hypothèse de la continuité du temps, il réussit une construction de R, puis de C ; la découverte du corps des quaternions le fait rompre avec le point de vue métaphysique et se rapprocher du symbolisme.
– « Justifier l’utilisation de la géométrie en théorie des nombres : des exemples chez C. F. Gauss et H. Minkowski » par Sébastien Gauthier : l’usage des réseaux apporte efficacité, simplicité, esthétique ; il permet la connexion avec les applications (cristallographie…), favorise l’unification des mathématiques (rencontre du continu et du discret), et a aussi un intérêt heuristique.
– « Un arithméticien contre l’arithmétisation : les principes de Charles Hermite » par Catherine Goldstein : ce catholique antirépublicain s’oppose aux innovations, voit les mathématiques comme une pure science d’observation, mais accepte et salue néanmoins la rencontre arithmétique-fonctions elliptiques.
– « Essai sur la tératologie mathématique » par Klaus Volkert : pourquoi et comment on s’est progressivement penché sur les « monstres », par exemple les fonctions continues nulle part dérivables, jusqu’à les admettre pleinement dans le monde mathématique, malgré l’opposition de certains (Poincaré…).
– « Deux approches des relations logique-mathématiques : Frege et Schröder » par Javier Legris : tous deux recherchent un langage scientifique universel, le premier, à partir d’une option philosophique : le logicisme, le deuxième s’appuyant sur la pratique mathématique pour concevoir l’Algèbre universelle, dont la logique serait une des applications.
– « La justification de la théorie des ensembles : entre métaphysique et axiomatique formelle » par José Ferreiros : la première option est illustrée par Cantor, pour qui cette théorie est plus vaste que les mathématiques et s’applique aussi à la logique, la théorie de la connaissance, la physique, la métaphysique ; la deuxième par Dedekind, pour qui « les mathématiques ne portent pas sur les lois de Dieu, mais sur celles de la pensée ». Hilbert, dont les conceptions évoluent dans le temps, veut construire une métamathématique. Zermelo produit son axiomatique, et espère prouver sa consistance.
– « Justification et fondement des mathématiques, selon Frege et selon Hilbert » par Jacqueline Boniface : l’auteur met en concurrence le logicisme de Frege et le formalisme de Hilbert, non sans signaler les objections des intuitionnistes Brouwer et Weyl. Il renvoie les deux doctrines dos à dos en montrant que l’une comme l’autre est basée sur une croyance. La préférence marquée des mathématiciens actuels pour les thèses de Hilbert bute cependant sur la question du sens.