Dans cet ouvrage l’auteur s’intéresse à la découverte de la convergence uniforme (Seidel, 1847) au début du XIXe siècle à un moment de l’histoire des mathématiques où apparaissent réellement des erreurs, c’est-à-dire des énoncés de théorèmes auxquels on peut opposer des contre-exemples.

En 1821, Cauchy, dans son cours de l’Ecole polytechnique, prétend démontrer que la somme d’une série convergente de fonctions continues sur un intervalle est elle-même continue : ce résultat est faux. Cinq ans plus tard, Abel, qui connaît des contre-exemples à l’affirmation de Cauchy (séries de Fourier qui convergent vers une fonction non continue), « donne une démonstration fausse du théorème exact de continuité de la somme d’une série entière (…) qu’il généralise ensuite en un théorème faux ». Seidel et Stokes s’efforcent de résoudre le problème au moyen des notions de « série qui converge aussi lentement que l’on veut », ou de « convergence infiniment lente ». En 1853 Cauchy reconnaît son erreur antérieure et établit le théorème correct, sans toutefois user du terme « convergence uniforme ».

Gilbert Arsac se demande comment ces erreurs ont pu être commises par des mathématiciens d’une telle envergure. Il trouve des réponses dans le flou qui régnait à l’époque concernant les définitions de concepts mathématiques (variable, fonction, continuité) ou logiques (quantificateurs, négation), ainsi que les notations, dont la précision est essentielle. Il faudra attendre Weierstrass (années 1870) pour uniformiser et stabiliser tout ceci.

Le lecteur pourra constater que l’on passe d’un raisonnement qualitatif sur les limites à un raisonnement quantitatif, c’est-à-dire centré sur l’utilisation des inégalités, et que c’est ce changement qui est décisif. L’auteur essaye de caractériser le mode de raisonnement « ancien » sur les limites qui échoue devant le problème de la convergence uniforme. Et cela l’amène à étudier « l’outillage mathématique » à la disposition des mathématiciens de l’époque. C’est tout un ensemble qui comporte à la fois des concepts qui ne sont pas encore tous fixés comme les notions de fonction, de fonction continue, et celui de variable en analyse qui joue un rôle central. Des symbolismes, une quantification floue avec une explicitation irrégulière des variables, entrainent des difficultés avec la négation ou le raisonnement par disjonction de cas.

Cette étude est aussi passionnante pour les didacticiens car, d’une part, ils vont retrouver chez les mathématiciens des erreurs classiques d’étudiants dans le processus d’apprentissage de la notion de limite et de son utilisation et, d’autre part, ils verront que la découverte de la notion de convergence uniforme s’opère à travers l’analyse des échecs, des contre-exemples rencontrés, essentiellement à cause de la manipulation des séries de Fourier.

Afin de permettre au lecteur de se construire une interprétation personnelle de ce moment historique, les textes de l’époque sont reproduits intégralement. Il ne s’agit pas seulement de simples extraits visant à justifier les opinions de l’auteur : même si la plupart de ces textes (sauf celui de Seidel, jamais traduit en français) sont disponible sur internet, Gilbert Arsac pense qu’il est agréable de les avoir simultanément à disposition.

Outre une introduction, une conclusion et une bibliographie, l’ouvrage comporte sept chapitres :
I. Les notions de base de l’analyse à l’époque de Cauchy
II. Problématique de la convergence uniforme
III. La première démonstration de Cauchy (1821)
IV. Abel et les séries de fonctions (1826)
V. Seidel et la convergence uniforme (1847)
VI. Un texte de Stokes sur la convergence uniforme (1847)
VII. Cauchy découvre la convergence uniforme (1853)

Les chapitres III à VII ont une structure quasi-identique : reproduction du texte historique (en traduction française si celui-ci est écrit dans une autre langue), précédé d’une présentation, et suivi d’une analyse détaillée et d’une conclusion. Dans l’introduction et les deux premiers chapitres on trouve également des extraits d’autres textes originaux de Cauchy et de divers auteurs : De l’Hospital, Liouville, Euler.