Ce chapitre nous montre l’émergence de la notion de fonction dérivée. Au départ, ce n’est pas comme on pourrait l’imaginer une simple réécriture du calcul différentiel, en effet la définition de la fonction dérivée repose en premier lieu sur le développement en série entière d’une fonction avec les travaux de Taylor, puis de Lagrange. Les travaux de Taylor s’appuient sur la notion de fluxion de Newton. Presque un siècle plus tard, Lagrange démontrera la formule de Taylor en utilisant le calcul sur les séries, ce qui le conduira non seulement à définir les dérivées successives d’une fonction, mais aussi à détailler l’importance du développement en série sur diverses applications.