Pour l’auteur, l’histoire de l’élaboration du nombre complexe est jalonnée par deux périodes importantes : la Renaissance et le début du 19e siècle. Elle constitue : « un exemple très significatif des distances qui sépare heuristique, théorisation et acception. Sa chronologie montre que les problèmes posés par la conceptualisation des nombres complexes diffèrent de ceux que permet d’appréhender leur présentation logico-pédagogique. … Or, un concept n’étant aujourd’hui reconnu comme tel en mathématiques que s’il offre un ensemble de significations cohérentes entre elles, l’élaboration du concept de nombre complexe ne se réduit pas à produire le signe racine de -1. Elle suppose au contraire l’harmonisation des différentes traditions qui servent de référence au mathématicien au travail. Elle demande que les significations du nombre, de la grandeur, et des opérations se trouvent retravaillées, modifiées en vue d’une nouvelle cohérence, formant un champ nouveau représentatif. Ce travail difficile, traversé par de longs débats contradictoires, s’articule autour de la rencontre du concept euclidien de grandeur avec les pratiques numériques issues de la naissance de l’algèbre, et conduit à l’édification d’un nouveau champ numérique, qui va de pair avec la transformation du sens des opérations. »
En conclusion, l’auteur note que : « l’introduction d’entités mathématiques nouvelles est souvent issue d’une certaine forme d’intuition, et d’une extension des pratiques, mais leur intégration ne se réalise qu’au prix d’une transformation radicale de cette intuition, de la signification des opérations et de l’émergence d’une multiplicité des formes du discours rationnel. En devenant imaginaire, il tire désormais sa signification et sa légitimité de la correspondance entre la conceptualisation géométrique qui se met en place au tournant du 19e siècle, et la conceptualisation algébrique qu’en proposent Hamilton et Cauchy un peu plus tard. Considérées d’un point de vue géométrique, elles ont lieu dans un plan conçu dynamiquement, et dont elles traduisent les mouvements. Considérées d’un point de vue algébrique, la définition des mêmes opérations passe par un dédoublement, puisqu’il faut prendre en compte partie réelle et partie imaginaire, ou module et argument, et distinguer entre égalité des nombres eux-mêmes et égalité de leurs modules. Leur intégration passe aussi par une restructuration, puisque la correspondance entre conceptions algébrique et géométrique conduit à la complexification de ces définitions. »