Cet ouvrage constitue les actes du colloque organisé par l’IREM de Rennes et par le laboratoire de didactique de l’Université de Rennes-1 les 23 et 24 janvier 1998.

En quinze chapitres indépendants des chercheurs et des praticiens abordent les problèmes soulevés par l’apprentissage de la démonstration sous différents éclairages (historique, épistémologique, cognitif, didactique, linguistique, …). Ils y présentent leurs points de vue, apportant parfois des éléments directement utilisables pour l’enseignement, quelquefois des outils comme des logiciels, tantôt des cadres plus théoriques d’analyse de textes de démonstration mathématique.
Dans presque tous les chapitres on trouve des exemples ou des observations de terrain.

Avant propos : Analyse de textes de démonstration dans des cadres théoriques différents (Barbin Evelyne, Duval Raymond, Houdebine Jean, Laborde Colette) est la confrontation de quatre points de vue sur trois textes de démonstration.

Première partie : Aspects épistémologiques et historiques
– La démonstration : pulsation entre le discursif et le visuel (Barbin Evelyne) considère des discours démonstratifs de grands mathématiciens. Sont conviés Euclide, Hérigone (qui prône une schématisation à l’aide de nombreuses abréviations comme le montre la démonstration extraite de son ouvrage de 1634 « La géométrie des attouchements d’Appolonius de Perge, restituée par François Viète »), Clairaut, Al-Khwarizmi, Descartes. On met en relief, dans ces textes, « la pulsation entre le discursif et le visuel » car « C’est la vivacité de cette pulsation, son incessante traversée sue et insue par l’entendement, qui forme la trame qu’emprunte le penser mathématique » (René Guitart).
– A partir de quelques textes historiques (Guichard Jean-Paul) illustre les différences de style de démonstration d’une même proposition concernant l’égalité des angles à la base dans un triangle isocèle. Il est suggéré de faire lire aux élèves de tels textes démonstratifs.

Deuxième partie : La démonstration objet d’enseignement
– Une approche linguistique de textes de raisonnement (Beck Isabelle) est une étude linguistique de textes de raisonnement, à partir d’extraits de manuels datant de 1992. Une comparaison entre démonstration et argumentation est développée. L’utilisation des connecteurs « mais » et « donc » est analysée à partir d’études statistiques.
– La diversité des textes de démonstration (Houdebine Jean) met en évidence la variété des rédactions de textes de démonstration, entre géométrie, algèbre élémentaire, arithmétique, probabilité, mais aussi la constance des règles d’organisation. La question « Quelles corrections apporter aux copies de nos élèves ? » est envisagée à partir d’exemples.

Troisième partie : Séquences d’enseignement
– Schémas pour la compréhension des théorèmes en classe de quatrième (Bellard Nicole, Lewillion Martine) est centré sur l’apprentissage de la démonstration dans une classe de quatrième de niveau moyen, avec des analyses de travaux d’élèves.
– Narration de recherche, points d’appui pour la démonstration (Combes Marie-Claire, Bonafé Freddy) met en valeur, comme « point d’appui pour la démonstration » la « narration de recherche, l’exposé écrit par un élève de la suite détaillée des activités qu’il a mises en oeuvre lors de la recherche des solutions d’un problème ».
– Rédiger la synthèse d’une activité, apprendre à démontrer (Thomas-Van Dieren Françoise) montre comment la mise en oeuvre d’activités de construction, où les transformations et l’usage d’instruments jouent un rôle important, suivie de la rédaction d’une synthèse, peut aider à apprendre à rédiger une démonstration.

Dans la suite, des considérations générales sur la notion de texte, plus précisément de textes de démonstration, conduisent à insister sur la rédaction en langue naturelle, profitable à la « compréhension générale des différentes formes du discours, à savoir la découverte des différents mécanismes d’expansion discursive qui les sous-tendent ».

Quatrième partie : Les élèves et la démonstration
– Ecriture et compréhension : pourquoi faire écrire des textes de démonstration par les élèves ? (Duval Raymond)
– Analyse de copies d’élèves (Houdebine Jean) présente un canevas pour une grille d’analyse de copies d’élèves.

Cinquième partie : L’outil informatique
Les chapitres suivants concernent la démonstration « assistée par ordinateurs » :
– La démonstration dans les EIAO de géométrie (Py Dominique)
– Aider le raisonnement déductif sans imposer un modèle : le micromonde Cabri-Euclide (Luengo Vanda)
– Premier pas : un outil d’apprentissage et de révélation des erreurs (Simon André)
– Le logiciel Mentoniezh (Py Dominique)
– Quelques phénomènes didactiques mis en évidence par l’utilisation du logiciel DEFI (El Gass Bahia, Giorgiutti Italo)