Le livre présente un cours d’algèbre, principalement centré sur la Théorie de Galois et accompagné d’exercices. Il rappelle d’abord les outils utilisés ; puis il développe la théorie elle-même, depuis les extensions algébriques jusqu’au groupe de Galois d’un polynôme ; il traite enfin des applications de la théorie de Galois dans des domaines classiques ou originaux, pour des utilisations théoriques (constructions à la règle et au compas, duplication du cube, etc.) ou pour la résolution de problèmes concrets (codes correcteurs d’erreurs, codage des CD).
L’auteur choisit un cadre général pour donner une « vision globale » du sujet que l’introduction d’hypothèses multiples tendrait à « masquer ».

L’ouvrage est composé de dix chapitres, d’environ 20 à 50 pages, comportant chacun une dizaine d’exercices ; les démonstrations, éventuellement structurées en paragraphes, figurent pour toutes les propositions (quelques lignes à rarement plus de deux pages) ; les exercices sont entièrement résolus (quelques lignes à une page) ; les résultats théoriques utilisés dans les preuves sont précisés par les numéros qu’ils ont dans l’ouvrage ; dans une trentaine de cas, les calculs sont traités avec le logiciel Maple, en particulier pour les polynômes et les codes correcteurs.

L’étude des développements, l’accès aux résultats comme livre de référence, la réflexion sur les connaissances sont facilités par
– les en-têtes des chapitres et ceux de nombreux sous-chapitres ainsi que les titres d’une trentaine de propositions et de la plupart des exercices : nom associé au résultat, cadre d’emploi, objet de l’étude, utilisation de l’outil, etc.
– les notes ou remarques sur les développements : annonce systématique de ce qui est fondamental ou efficace dans la pratique, état de l’avancement dans le développement, motivation par l’utilisation annoncée d’un résultat, compléments, analogie dans un autre domaine, limite de portée d’une proposition, danger lié à l’omission d’une hypothèse , etc.

L’équilibre abstrait-concret, la clarté de l’exposition, l’accompagnement du lecteur dans sa progression – et les clins d’oeil vers d’autres domaines – peuvent destiner aussi le livre à un public plus large que celui des étudiants de Master.
Il traite des problèmes classiques (exercice des deux échelles) ou historiques (équation résoluble par radicaux, duplication du cube, etc.).

Plan de l’ouvrage :

Introduction.

Partie I. Arithmétique, anneaux et polynômes :
Chapitre 1. Arithmétique et groupe symétrique : Rappels et indicatrice d’Euler, Cryptographie, Transformée de Fourier discrète, Simplicité du groupe alterné, etc.
Chapitre 2. Anneaux et polynômes : Anneaux principaux, factoriels, Division euclidienne, Contenu d’un polynôme et irréductibilité, Résultant de deux polynômes, Polynômes multivariés, symétriques, homogènes, Irréductibilité de polynômes génériques, etc.

Partie II. Théorie de Galois :
Chapitre 3. Extensions algébriques : Eléments algébriques, Clôtures algébriques, Eléments conjugués et corps de décomposition, Corps finis, etc.
Chapitre 4. Extensions normales, séparables : Théorème de l’élément primitif, Corps parfait, etc.
Chapitre 5. Théorie de Galois : Extensions galoisiennes, Théorème d’Artin, Théorème fondamental de la théorie de Galois, etc.
Chapitre 6. Extensions : Extensions abéliennes, cycliques, cyclotomiques, radicales, Polynômes cyclotomiques, Irréductibilité sur Q, Factorisation sur le corps Fq, etc.
Chapitre 7. Groupe de Galois d’un polynôme : Rappels sur les groupes, Discriminant d’un polynôme, Equations résolubles par radicaux, Sous-groupes transitifs du groupe symétrique, Théorème de van der Waerden, Equations de degré 2, 3, 4, Réalisation d’un groupe comme un groupe de Galois, etc.

Partie III. Applications :
Chapitre 8. Constructions à la règle et au compas : Points et nombres constructibles, Théorème de Wantzel, Problèmes historiques, Correspondance de Galois et polynômes réguliers, etc.
Chapitre 9. Corps finis et applications : Résidus quadratiques modulo p
Polynômes irréductibles sur les corps finis, Factorisation des polynômes de Fq[X], Algorithme de Berlekamp, Théorème de Chebotaryov, Codes correcteurs d’erreurs, Codes BCH, Codage des CD, etc.
Chapitre 10. Norme, trace et entiers algébriques : Lemme 90 de Hilbert, Théorème d’Artin-Schreier, Discriminant d’une famille, Théorème de la base normale, etc.

Le livre comporte une notice biographique pour la cinquantaine de mathématiciens cités : quelques lignes sur les dates, domaines de recherche, exemples de résultats attribués, anecdotes, etc.