L’ouvrage présente un cours qui a été effectivement enseigné pour la préparation CAPES et à l’agrégation ; les chapitres sont en général conçus de manière indépendante, ils permettent une consultation de manière ponctuelle, le niveau requis étant celui de fin de DEUG. Une composante culturelle est apportée par des remarques, réflexions ou ouvertures. Aucun énoncé d’exercice n’est proposé.
Le cours définit la notion de « groupe opérant sur un ensemble » qui est la méthode retenue pour introduire les géométries de l’ouvrage; il aborde les géométries vectorielle, affine, projective, conforme, semblable et approfondit plus particulièrement la géométrie affine euclidienne ; la géométrie dite analytique est présente : géométrie plane et corps des complexes, géométrie dans l’espace à 3 dimensions et algèbre de Clifford ; la géométrie différentielle n’est pas étudiée. L’intérêt des orbites, et des invariants qui les caractérisent, est systématiquement exploité : par exemple pour : rapport de 3 points alignés, birapport de 4 points alignés, classification de triangles, classification de coniques. Plusieurs études sont présentées en variant le cadre de référence, les passages d’une géométrie à une autre soulignant des liaisons entre des concepts mathématiques différents. Pratiquement tous les résultats sont accompagnés d’une démonstration.
Ce cours est réparti en 11 chapitres : Groupe opérant sur un ensemble, notion de figure, étude d’orbites, passage d’une géométrie à une autre ( 2 chapitres), géométrie du triangle, algébrisation de la géométrie ( 2 chapitres : plane et dans l’espace à 3 dimensions), configuration de droites, géométrie des cercles et sphères, coniques.
Sur les configurations classiques sont présentés : les théorèmes de Routh, Céva, Ménélaüs, Pythagore, Neuberg, Morley, Thalès, Desargues, Pappus, Ptolémée, Brahmagupta, Pascal, Brianchon,…; le cercle d’Euler, de Feuerbach; le point de Gergonne, de Nagel, de Fermat ; la droite de Simson, d’Euler,…