L’auteur montre les problèmes que posent les nombres et leurs apports successifs. Il en donne des synthèses illustrées d’éclairants exemples. Il établit constamment des ponts bienvenus entre telle époque et telle autre…
L’auteur esquisse les grandes étapes qui amènent aux conceptions modernes : premiers âges ; Babylone ; Grecs ; algébristes italiens ; Newton-Leibniz-Gauss ; le siècle des révolutions (XIXe essentiellement) ; Cantor, la crise des fondements ; Hilbert ; le vertige contemporain ; Et maintenant ?
On y retrouve les grands apports : de l’irrationalité de racine de deux (avec les deux démonstrations classiques) aux nombres p-adiques et aux transfinis en passant par les complexes, les coupures de Dedekind,… en débouchant sur l’axiome du choix, le théorème de Gödel, les ensembles récursivement énumérables et ensembles récursifs, le théorème de Robinson-Matijasevic (1970 – à propos des équations diophantiennes), la théorie des modèles, les pavages non périodiques, les fractales et systèmes dynamiques, les apports de l’informatique (cf. théorème des 4 couleurs), les jeux et les nombres de Conway, les infinitésimaux d’Alain Connes,…
Il s’agit d’approches fournissant toujours au moins les éléments de base pour une bonne compréhension et un éventail des travaux issus de ceux étudiés.
De grands thèmes de réflexion, innervent tout l’ouvrage. Ainsi pour celui de la « vérité » en mathématiques, à propos des Grecs ou de Leibniz, des géométries non-euclidiennes, des recherches de Cantor, des thèses de Gödel, des nombres et des espaces p-adiques, des pavages,…
Chaque chapitre propose 1 ou 2 problèmes, ensuite résolus.
L’ouvrage se clôt par cinq « Appendices » (Bases de numération ; Suite de Fibonacci ; Polynômes ; Quaternions ; Axiomes de la théorie des ensembles et de l’arithmétique), puis par un bref « LEXIQUE » de termes mathématiques et une bibliographie.