Il y a sept ans Frédéric Laroche nous avait guidés dans des Promenades mathématiques. Aujourd’hui, il nous convie à l’exploration plus détaillée, plus systématique, quasi exhaustive, de l’un des territoires alors visités : l’arithmétique, et plus généralement la théorie des nombres. La démarche est la même : à partir d’une perspective historique (remontant au Paléolithique), aboutir à un état des lieux des connaissances actuelles, y compris les conjectures encore ouvertes.
Le style est, comme dans les « Promenades », léger, teinté de pointes d’humour ; l’auteur ne recule pas devant les abus de langage quand ils n’entraînent pas d’ambiguïté. L’ouvrage comprend, en encadrés, des biographies, des portraits, quelques programmes Maple.
Mais l’essentiel du contenu est purement mathématique : chaque fois que c’est raisonnablement possible, les résultats sont démontrés, soit par citation des auteurs originels, soit par re-rédaction, et souvent de plusieurs manières ; sinon un renvoi à la bibliographie permet de trouver ces preuves. Frédéric Laroche ne recule pas devant de longs calculs détaillés, entrecoupés de commentaires ; souvent il s’attache à nous faire suivre le cheminement de la pensée du créateur.
Cet imposant travail de compilation et synthèse, après une Introduction et avant une liste d’abréviations et symboles (2 pages), une bibliographie (8 pages) et un index (5 pages), est structuré en 17 chapitres :

Les huit premiers concernent l’arithmétique proprement dite, sans utilisation de l’analyse complexe ; ils ont pour titres :
– Brève histoire des débuts de l’Arithmétique
– Bachet et Fermat
– Encore Fermat, Euler, Legendre, Gauss
– Dirichlet et les fonctions arithmétiques
– La loi de réciprocité quadratique
– Le théorème de Wilson et ses conséquences
– Fractions continues
– Les suites de Farey.

Puis la théorie des Fonctions d’une variable complexe, résumée dans le chapitre 9, domine la théorie des nombres :
– Fonction Gamma
– Fonction Zêta
– Théorème des Nombres Premiers
– Fonctions Elliptiques
– Fonctions Thêta de Jacobi
– Formes modulaires
– Partitio numerorum
– Formes quadratiques.