La théorie des ensembles a laissé un souvenir à tous ceux qui sont passés par les « maths modernes ». Son cadre axiomatique, que certains ont pu percevoir comme rigide, permet de « dérouler » l’ensemble du savoir mathématique. Comment ? C’est ce que propose de découvrir cet ouvrage en levant le voile sur l’origine et la construction de cette théorie. Tout est parti d’un malaise scientifique profond, la crise des fondements.
L’édifice mathématique, que l’on croyait solide et inaltérable, était en fait morcelé de contradictions et d’objets mal définis ! L’introduction des ensembles à la fin du XIXe siècle a permis d’assainir la situation, tout en donnant naissance à son lot de paradoxes, d’impossibilités, de situations défiant l’intuition… Un ensemble est une collection d’objets entre lesquels peuvent exister des relations diverses.
C’est ainsi qu’émergent les notions de structures et de fonctions, qui régissent la majorité des concepts mathématiques. La construction des nombres et une nouvelle approche de la géométrie en découlent de manière naturelle. Une telle simplicité conceptuelle confère aux ensembles et aux fonctions une efficacité redoutable ! Mais choisir les bons axiomes pour développer la théorie des ensembles et décrire les mathématiques (et, au-delà, toutes les sciences !) n’est pas une mince affaire…

Sommaire :
– Bertrand Hauchecorne et Alain Zalmanski : Un peu d’étymologie
– Hervé Lehning et Alain Zalmanski : Le principe des tiroirs

* Dossier : Histoire d’une théorie révolutionnaire
– Pierre Cartier : L’oeuvre mathématique de Bourbaki
– Michel Criton et Bertrand Hauchecorne : La querelle des maths modernes
– Elisabeth Busser : Une approche des mathématiques qui dérange
– Cédric Aubouy et Bertrand Hauchecorne : Cantor : deux démonstrations pour un théorème
– Alain Zalmanski : Lewis Carroll, vers la logique moderne
– Emmylou Haffner : Premières utilisations des ensembles en mathématiques
– Martine Brilleaud : Le jeu de Dobble
– Paul Ferro : Jeu, set et maths
– Françoise Joly : Borges, la Bibliothèque de Babel
– Hervé Lehning : L’hôtel de Hilbert

* Dossier : Ensembles, relations et applications : une nouvelle approche
– Daniel Justens : De la collection d’objets à l’ensemble
– Benoît Rittaud : L’ »ensemble » des ensembles
– Hervé Lehning : L’ensemble et ses parties
– Fabien Aoustin : Le diagrammes de Venn et les nombres premiers
– Fabien Aoustin : Les diagrammes en patate, une idée qui donne la frite
– François Lavallou : Relations et applications : structurer les ensembles
– Fabien Aoustin : Eblouissantes relations binaires
– Bertrand Hauchecorne : La médaille Hausdorff
– Daniel Justens : Construire des nombres, une histoire au long cours
– Hervé Lehning : Une construction avant-gardiste
– Denis Guedj : Un pour un !
– Gilles Cohen : Le nom des éléments d’un ensemble

* Dossier : Opérations, structures, nombres
– Hervé Lehning : Kurt Gödel et l’indécidabilité
– Fabien Aoustin : Adhérez aux groupes !
– Gilles Cohen : Qu’est-ce qu’un groupe ?
– Hervé Lehning : La dimension fractale de l’ensemble triadique
– Emmylou Haffner : La naissance des concepts algébriques
– Elisabeth Busser : L’algèbre logique de George Boole

* Dossier : Infini et paradoxes
– Hervé Lehning : Une brève histoire de l’infini
– Hervé Lehning : Georg Cantor : passer du fini à l’infini
– Philippe Boulanger : Sacrés paradoxes (1)
– Hervé Lehning : La multiplicité des infinis
– Bertrand Hauchecorne : Le roman de Lotfi Zadeh
– Philippe Boulanger : Sacrés paradoxes (2)
– Philippe Boulanger : Sacrés paradoxes (3)
– Bertrand Hauchecorne : Les ensembles flous : modéliser les appartenances incertaines
– François Lavallou : John von Neumann, moyennes et démesure
– Philippe Boulanger : Sacrés paradoxes (4)

* Dossier : Axiomatique
– Daniel Justens : Mais que sont les axiomes ?
– Kylie Ravera : Bizarre hasard
– Daniel Justens : La tentative de Zermelo pour éliminer les paradoxes
– Hervé Lehning : L’axiome du choix, si naturel, et pourtant si étonnant…
– Philippe Boulanger : Sacrés paradoxes (5)
– Hervé Lehning : L’axiomatisation du hasard
– Bertrand Hauchecorne : Aux sources de la topologie
– Marie Berrondo-Agrell : Dix problèmes en patates
– Jean-Jacques Dupas : La mort de la géométrie
– Michel Criton : Questions à résoudre … ensemble