Ce volume est le premier d’une trilogie (cf. vol. 2 ) qui retrace la longue maturation du théorème, dit aussi de D’Alembert-Gauss, qui, en langage moderne, s’exprime par exemple par « Le corps des nombres complexes est algébriquement clos ».
L’objet de ce volume est le théorème fondamental de l’algèbre. Afin de rester dans un cadre élémentaire, ce volume s’arrête juste avant la première preuve de Gauss, et bien sûr avant l’intervention de Galois, lorsque l’énoncé de ce théorème n’est encore contaminé par aucune écriture symbolique absconse. L’histoire est celle de la notion d’imaginaire inventée par Descartes, jusqu’à sa réduction à un nombre complexe : plus de cent cinquante années s’écoulèrent entre l’affirmation de Descartes en 1637 et celle de Laplace en 1795.

Dans le chapitre zéro, en sont recensés pas moins de 19 énoncés, formulés entre 1629 et 1799 par, entre autres, Descartes, Leibniz, Euler, d’Alembert, Laplace, etc. Ce chapitre est un mode d’emploi compotant repères, abréviations des différentes formes historiques du théorème fondamental, énoncés historiques et écritures anciennes.
Outre une Introduction (Un objectif d’histoire et de mathématiques conjointes) et ledit Chapitre zéro, l’ouvrage est composé de deux parties :

* Préparation du théorème : 4 chapitres, consacrés respectivement aux apports de : Descartes, Viète, Wallis/Rolle/Ozanam/De Moivre, Leibniz/Reyneau/les Bernoulli/ Euler.
– Descartes pose une équivalence fondamentale entre deux écritures, qui permet la factorisation et la méthode des coefficients indéterminés
– Esquisse d’une préhistoire immédiate de la conception polynomiale de Descartes
– Indétermination sur la forme des racines et antécédents du théorème de factorisation réelle
– Les polynômes réels de Leibniz à Euler

* Le théorème fondamental suscite l’invention : 4 chapitres, centrés chacun sur une tentative de démonstration par, respectivement, d’Alembert, Euler, Lagrange, Laplace.
– L’étonnante courte démonstration de Jean d’Alembert en 1746
– Mise en chantier d’un théorème algébrique par Euler et Le Seur
– Le chantier algébrique européen avant la démonstration révolutionnaire de Laplace
– En 1795, Laplace réussit le théorème de factorisation réelle en tant que conséquence de la théorie de l’élimination

Il est complété par un Dictionnaire biographique (44 rubriques), une Bibliographie (17 pages) et un Index.