Après le colloque de Toulouse de 2005, Algébrisations et Géométrisations, la commission inter-IREM de Géométrie a décidé de demander aux intervenants qui avaient mis l’algèbre, son histoire ou ses rapports avec la géométrie au centre de leur exposé, de se réunir pour produire un texte cohérent sur ce sujet « quelle doit être la place de l’Algèbre dans l’enseignement secondaire ? ».
Ce livre n’est pas une histoire exhaustive du Calcul, il en retrace une longue période, commençant en Egypte par les rapports entre l’algèbre et l’arithmétique de « l’école primaire ». Il reste ensuite un long moment sur le passage à la géométrie analytique, avant de donner plusieurs exemples de mathématiques modernes : comment au dix-neuvième siècle l’algèbre est devenue « structure ».
La première partie est consacrée au calcul arithmétique ; c’est le calcul de « l’école primaire » mais aussi celui de l’Egypte ancienne. Il repose sur la notion de linéarité.
Une part importante du livre traite de l’émergence du calcul littéral, c’est-à-dire de l’invention de la géométrie analytique.
L’algèbre n’a pas su ordonner le nouvel outil avant qu’il ne soit appliqué à la géométrie projective grâce aux coordonnées homogènes. C’est le thème de la troisième partie.
Les objets abstraits qui remplacent au dix-neuvième siècle les calculs ne sont-ils que des symboles ordonnés par des règles que suggèrent l’arithmétique ordinaire (Peacock) ou des objets construits par une synthèse kantienne (Hamilton)?

Sommaire de l’ouvrage :

* Calcul et mesure
– Calcul et géométrie dans l’Egypte ancienne (Michel Guillemot)
– Apprendre à calculer (Luc Sinègre)
– La proportionnalité et sa descendance (Nicolas Rouche)

* Calculer pour construire
– Construction ponctuelle des courbes algébriques chez Descartes (André Warusfel)
– Des origines de la géométrie analytique (Henry Plane)
– Sur une proposition de Descartes sur les cônes (Thierry Hamel, Luc Sinègre, André Warusfel)
– La transformation d’Agnesi (Jean-Philippe Cortier)

* Des lignes en guise de calcul
– Qu’est-ce qu’une ligne droite ? (Rudolf Bkouche)
– La géométrie projective (Jacques Navez)
– Calcul Graphique, calcul Nomographique (Frédéric Vivien)

* La formalisation du calcul
– Autour de George Peacock : comment fonder une conception symbolique des opérations ? (Marie-José Durand-Richard)
– Aller-retour Analyse Synthèse dans le discours sur les quaternions (Luc Sinègre)
– La théorie des fonctions algébriques d’une variable de Dedekind et Weber (Sonia Couche) où on raconte plusieurs étapes importantes qui ont amené le calcul à devenir une structure.