La question de l’infini intervient dans l’histoire des mathématiques comme un élément à la fois perturbateur et moteur. Au cours d’une longue histoire, les mathématiciens rencontrent l’infini, essayant de l’éviter ou osant l’affronter. Depuis les géomètres grecs qui ne veulent pas faire usage de l’infini dans leurs démonstrations, jusqu’aux mathématiciens qui considéreront, comme H. Weyl, que « les mathématiques sont la science de l’infini », la lutte pour saisir l’infini est longue et passionnante. Les difficultés et les obstacles sont souvent mal repérés dans nos classes de collèges et de lycées, mais la question de l’infini rarement explicitée est parfois là, tapie dans nos salles de cours.
Les Actes du 9e colloque inter-IREM « Epistémologie et Histoire des Mathématiques » proposent quelques moments de l’histoire de l’infini, ou plutôt des infinis, tant il faudra de temps pour appréhender toutes les facettes du monstre que l’on croit enfin maîtrisé. Nombre, continu, grandeur, dérivée ou intégrale, algorithme, géométrie perspective ou géométrie du hasard : comment éviter de penser l’infini ? Comment ne pas vouloir l’éclairer ? Tous les articles de ces Actes sont autant d’invitations à une réflexion sur l’infini, réflexion nécessaire à celui qui enseigne les mathématiques.

Sommaire de la brochure :

Préambule
L’idée d’infini, quelle histoire par Tony Lévy

1. Cosmos et infini
Quel mouvement hélicoïdal « à l’infini » pour les astres ? par Joëlle Delattre
La philosophie de l’infini dans l’oeuvre de Giordano Bruno par Jean Seidengart

2. Nombre, continu et infini : de Zénon à Cantor
L’infini paradoxal de Zénon d’Elée : la dialectique de l’espace et du nombre par Jean-Paul Dumont
Comment les Eléments d’Euclide traitent du continu sans recourir à l’infini par Marie-José Durand-Richard
Faire la droite avec des points par Thérèse Gilbert, Benoït Jadin, Philippe Tilleuil
Statut du nombre et détermination de l’infini par Gilles Ferréol
De la difficulté d’être omniscient par Henri Lombardi

3. Aires et volumes : sans ou avec l’infini
Le volume de la pyramide par Eudoxe de Cnide par Michel Levard
Les progressions de l’infini : rôles du discret et du continu au XVIIe siècle par Jean Dhombres
Présentation de l’Arithmetica infinitorium de John Wallis par Anne Chevallier
Séries et quadratures chez Leibniz par Marie-Françoise Jozeau, Maryvonne Hallez, Martine Bühler

4. Infiniment grands et infiniment petits
Les Eléments de la géométrie de l’infïni de Fontenelle Michel Blay
Evolution du concept d’infiniment petit aux 18ème et 19ème siècles par Gert Schubring
Les infinitésimaux dans l’enseignement au XIXème siècle par Martin Zerner
(Re) Lectures infinitésimales par André Deledicq

5. L’enseignement de l’analyse : la question de l’infini
Eclairages historiques pour l’enseignement de l’analyse par Jean-Pierre Friedelmeyer Prenons la tangente avant de dériver par Patrick Perrin

6. Algorithmes, calculatrices et infini
Une approche de l’irrationalité : algorithme d’Euclide et fraction continue par Denis Daumas
L’infini n’est pas programmable par Marianne Guillemot
Un comportement étrange des calculatrices par François Parisot
L’émergence du concept Fractal par Vincent Langlet et François Parisot
Les élèves de collège doivent-ils ignorer les algorithmes de calcul ou de constructions où un nombre fini d’étapes ne suffit pas pour trouver le résultat ? par Ruben Rodriguez Herrera

7. Géométrie projective et infini
Le projectif ou la fin de l’infini par Rudolf Bkouche
La notion de « point de fuite » comme obstacle épistémologique par Philippe Lombard

8. Probabilité et infini
Huygens : l’espérance et l’infini par Denis Lanier